Unidad 1 L mites y continuidad

Unidad 1 L Mites Y Continuidad-Free PDF

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UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD,x 0 8 0 9 0 99 1 2 1 1 1 01. f x 1 64 1 81 1 9201 2 44 2 21 2 0201,Como podemos observar en la gr fica es. evidente que a medida que nos acercamos al valor,de la abscisa x 1 sus correspondientes im genes. se van aproximando cada vez m s a la ordenada,y 2 Adem s es interesante observar tambi n que. esto ocurre tanto por valores menores por la,derecha como por valores mayores por la izquierda.
de la abscisa x 1,De esta idea de acercamiento a un valor de. la ordenada y a medida que nos aproximamos a,una abscisa x concreta por la izquierda o derecha. se deriva la definici n cient fica de l mite que a. continuaci n formalizaremos,Definici n 1 Sea f x una funci n definida en un. entorno reducido de x a Se dice que el l mite de,f x cuando x tiende hacia a es l o que converge. a l si 0 0 si x a f x l,es decir si podemos hacer que f x se aproxime a l.
tanto como queramos sin m s que tomar valores de,x suficientemente pr ximos al valor x a Lo. escribiremos L m f x l, Nota 1 Hemos de tener en cuenta que la definici n de l mite no depende del valor de la. funci n en x a es decir no tiene porqu cumplirse que f x l de hecho ni siquiera. tiene que estar definida la funci n en x a La idea de l mite analiza lo que ocurre con las. im genes cuando nos acercamos sin llegar a alcanzar en principio el valor x a. En determinadas funciones como por ejemplo las definidas a trozos los valores. que toma alrededor de un punto dependen si nos acercamos por la izquierda o por la. derecha y el comportamiento puede ser muy distinto en ambas direcciones. Por ello adem s de las definiciones de l mite conviene llevar a cabo definiciones. que tengan en cuenta dicha circunstancia Nos referimos a las definiciones de l mites. laterales que vamos ver a continuaci n, Definici n 2 Sea f x una funci n definida en un entorno reducido a la izquierda de. x a Se dice que el l mite de f x cuando x tiende hacia a por la izquierda si. 0 0 si a x a f x l es decir si podemos hacer que f x se. aproxime a l tanto como queramos sin m s que tomar valores de x suficientemente. pr ximos al valor x a a trav s de valores menores que a Lo escribiremos L m f x l. Matem ticas II 2 de Bachillerato A Prof Santiago Mart n Fern ndez P gina 2. UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD, Definici n 3 Sea f x una funci n definida en un entorno reducido a la izquierda de. x a Se dice que el l mite de f x cuando x tiende hacia a por la derecha es l si. 0 0 si a x a f x l es decir si podemos hacer que f x se. aproxime a l tanto como queramos sin m s que tomar valores de x suficientemente. pr ximos al valor x a a trav s de valores mayores que a Lo escribiremos L m f x l. x 2 si x 0,Ejemplo 2 Sea f x,x 1 si x 0,L m f x L m x 2 2.
Es f cil ver que,L m f x L m x 1 1, Nota 2 Una de las nociones fundamentales en esta unidad y que ya estudiamos durante. el curso pasado es la de continuidad Intuitivamente se puede decir que una funci n es. continua en un punto x a si su gr fica se puede trazar alrededor de dicho valor sin. levantar el l piz del papel es decir de un solo trazo Como ya veremos m s adelante. esto se traduce en que L m f x f a, Ahora bien la inmensa mayor a de las funciones elementales que ya conocemos. son continuas en la mayor a de los puntos de su dominio as pues es evidente que un. buen m todo para comenzar a calcular l mites sencillos es empezar sustituyendo x por. a en la expresi n de la funci n ya que cuando exista f a ser el valor del l mite. Ejemplo 3 Sea f x Veamos algunos de sus l mites puntuales. b L m f x 1, Proposici n 1 Sea f x una funci n definida en un entorno de x a Entonces f x. tiene l mite l cuando x tiende hacia a si y solo s existen los dos l mites laterales y ambos. valen l Abreviadamente L mf x l L mf,x a x a x a, Proposici n 2 unicidad del l mite El l mite de una funci n en un punto en caso de. existir es nico,Proponemos las actividades de la 9 a la 11.
Matem ticas II 2 de Bachillerato A Prof Santiago Mart n Fern ndez P gina 3. UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD, Definici n 4 Sea f x una funci n definida en un entorno. reducido de x a Se dice que el l mite de f x cuando x. tiende hacia a es m s infinito o que diverge a m s 7. infinito si M 0 0 si x a f x M es, decir si podemos hacer que f x tome valores positivos tan. grandes como queramos sin m s que tomar valores de x. suficientemente pr ximos al valor x a Lo escribiremos 1 1 2 3. Definici n 5 Sea f x una funci n definida en un entorno. reducido de x a Se dice que el l mite de f x cuando x. tiende hacia a es menos infinito o que diverge a menos. infinito si N 0 0 si x a f x N es, decir si podemos hacer que f x tome valores negativos. tan peque os como queramos sin m s que tomar valores. de x suficientemente pr ximos al valor x a Lo,escribiremos L m f x. Nota 3 De la misma forma que en el l mite puntual el comportamiento del l mite depende. de lo que ocurra alrededor del punto y no del valor en el propio punto Tambi n de la. misma forma que en el caso de l mites finitos se pueden definir los l mites laterales y se. obtienen resultados an logos a las proposiciones 1 y 2. Ejemplo 4 Sin m s que ir dando valores en la calculadora podemos observar que. a L m b L m,x 1 x 1 2 x 0 x4,c L m L m L m,x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1.
Es interesante que observes que a diferencia de los dos primeros apartados en. los que s existe el l mite el tercer apartado carece de l mite ya que no coinciden los. l mites laterales, Este hecho est bastante relacionado con que el denominador no se encuentra. elevado a exponente par cosa que s ocurre en los dos primeros casos Recuerda que. mientras que una potencia de exponente par resulta siempre un n mero positivo las de. exponente impar resultan positivas o negativas en funci n de la base. Es este el hecho que provoca la diferencia entre estos apartados y que es de vital. importancia recordar para un futuro,Proponemos la actividad 12. Matem ticas II 2 de Bachillerato A Prof Santiago Mart n Fern ndez P gina 4. UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD,3 L MITES EN EL INFINITO. En este punto del tema vamos a definir los conceptos de l mites en el infinito. Conviene tener en cuenta antes de empezar que ya no son l mites puntuales como en el. apartado anterior y por tanto no tiene sentido hablar de l mites laterales. Definici n 6 Se dice que el l mite de f x cuando x. tiende a m s infinito es l o que converge a l si,0 M 0 si x M f x l es decir si. podemos hacer que f x se aproxime a l tanto como, queramos sin m s que tomar valores de x suficientemente.
grandes Lo escribiremos L m f x l, Definici n 7 Se dice que el l mite de f x cuando x. tiende a menos infinito es l o que converge a l si. 0 N 0 si x N f x l es decir si,podemos hacer que f x se aproxime a l tanto como. queramos sin m s que tomar valores de x suficientemente. peque os Lo escribiremos L m f x l, Definici n 8 Se dice que el l mite de f x cuando x. tiende a m s infinito es m s infinito o que diverge a. m s infinito si M 0 N 0 si x N f x M, es decir si podemos hacer que f x sea tan grande como. queramos sin m s que tomar valores de x suficientemente. grandes Lo escribiremos L m f x, Definici n 9 Se dice que el l mite de f x cuando x.
tiende a m s infinito es menos infinito o que diverge a. menos infinito si M 0 N 0 si x M f x N,es decir si podemos hacer que f x sea tan peque o. como queramos sin m s que tomar valores de x,suficientemente grandes Lo escribiremos L m f x. Definici n 10 Se dice que el l mite de f x cuando x. tiende a menos infinito es m s infinito o que diverge a. m s infinito si M 0 N 0 si x N f x M es, decir si podemos hacer que f x sea tan grande como. queramos sin m s que tomar valores de x suficientemente. peque os Lo escribiremos L m f x, Matem ticas II 2 de Bachillerato A Prof Santiago Mart n Fern ndez P gina 5. UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD, Definici n 11 Se dice que el l mite de f x cuando x tiende.
a menos infinito es menos infinito o que diverge a menos. infinito si M 0 N 0 si x M f x N es decir si, podemos hacer que f x sea tan peque o como queramos sin. m s que tomar valores de x suficientemente peque os Lo. escribiremos L m f x,4 LGEBRA DE L MITES INDETERMINACIONES. En este ep grafe de la unidad vamos a analizar las operaciones elementales con. l mites es decir haremos una descripci n de los resultados de sumas restas productos. divisiones y potencias de base positiva de funciones de los que se pueden calcular. conocidos los resultados de los factores con los que operamos. La descripci n matem tica y las demostraciones de estos resultados aunque. sencillas son extensas en su escritura por lo que nos limitaremos a ofrecer los resultados. de forma abreviada para su mejor asimilaci n,Proposici n 3 Suma. a a b a b b a c,Proposici n 4 Producto,a a b a b b a regla de signos con a 0. c 0 IND d regla de signos,Proposici n 5 Cociente,regla de signos laterales con a 0.
a con b 0 b,regla de signos,g regla de signos laterales h IND. Matem ticas II 2 de Bachillerato A Prof Santiago Mart n Fern ndez P gina 6. UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD,Proposici n 6 Potencia de base positiva. a a b a b con a 0 b 0 b si b 0,IND si b 0,si a 1 0 si a 1. c a 0 si 0 a 1 d a si 0 a 1,IND si a 1 IND si a 1,e b 0 si b 0 f g 0. IND si b 0, Seg n acabamos de ver existen en total 7 indeterminaciones que son.
0 0 0 0 y 1 de las que entre el curso pasado y este. abordaremos los m todos de resoluci n de las 4 primeras No obstante veamos. antes algunas actividades de repaso de los casos no indeterminados. Proponemos la actividad 13, Nota 4 El l mite en el infinito de un polinomio coincide con el l mite en el infinito de su. monomio l der es decir L m an x n an 1x n 1 a1x a0 L m an x n. Durante las siguientes notas repasaremos los m todos de resoluci n de las. indeterminaciones y El otro caso que abordaremos 0 se resuelve. transform ndolo en un cociente, Por simplificar la escritura en el c lculo de l mites se suele permitir la escritura de. expresiones que no existen en el campo num rico como por ejemplo Estas. expresiones las escribiremos entre corchetes entendiendo que se trata de una. aproximaci n en el l mite y no de una operaci n en la que no tienen cabida. Nota 5 Resoluci n de la indeterminaci n, Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en expresiones del tipo L m. siendo f x y g x expresiones polin micas o eventualmente expresiones con. radicales una de ellas o ambas En el caso de las polin micas basta simplificar los. factores del tipo x a mediante factorizaci n Si hay radicales hay que transformarlos en. expresiones sin radicales antes de llevar a cabo lo anterior Esto se consigue. multiplicando numerador y denominador por la expresi n conjugada conveniente. Matem ticas II 2 de Bachillerato A Prof Santiago Mart n Fern ndez P gina 7. UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD,Ejemplo 5 Veamos un ejemplo de cada tipo. 2x 2 8 0 IND 2 x 2 x 2 2 x 2 8,a L m L m L m,0 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 3.
x2 x 0 IND,x2 x x 4 2,x x 1 x 4 2,x 0 x 4 2 0 x 0 x 4 2 x 4 2 x 0. Nota 6 Resoluci n de la indeterminaci n, Para resolver este tipo de indeterminaciones utilizaremos que el l mite de un polinomio en. el infinito coincide con el de su monomio l der Nota 4. En el caso concreto de los polinomios el resultado es. an x an 1x a1x a0,x b x m b b1x b0 bm,Ejemplo 6 Veamos un ejemplo de cada tipo. 3 x 4 2x 2 5 3 x 4 3,a L m x 4 x 4 4,4 x 1 4 x 4 x 4 4. b L m L m L m L m 0,3 x x x 3 x x x,Nota 7 Resoluci n de la indeterminaci n.
Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en expresiones del tipo. L m f x g x siendo alguna de las dos funciones expresiones radicales Para. resolverlas se transforma en una indeterminaci n multiplicando y dividiendo por la. expresi n conjugada f x g x y procediendo como en la nota 6. L m x 2 5 x 2 L m,x 2 5 x 2 4x 4 4 x 1 4 x 4 x,L m L m L m L m 2. Proponemos la actividad 14, Matem ticas II 2 de Bachillerato A Prof Santiago Mart n Fern ndez P gina 8. UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD, Aunque forma parte de la unidad siguiente un eficaz y muy utilizado resultado en el. c lculo de l mites es la llamada Regla de L H pital o Reglas de L H pital porque son. varias Como ya se vio en el curso pasado el c lculo de derivadas podemos utilizar dicha. regla en lo que sigue Veamos su enunciado, Proposici n 7 Regla de L H pital Sean f x y g x funciones derivables en un. entorno reducido de x a tales que L m presenta la indeterminaci n o bien. Si existe L m entonces tambi n existe L m y coincide con el anterior El. x a g x x a g x, resultado tambi n es v lido para l mites en el infinito.
En la pr ctica esto supone que en la mayor a de las situaciones en las que se nos. presenten indeterminaciones de tipo cociente podemos derivar numerador y denominador. y ver si el l mite resultante existe ya que en tal caso coincidir con el anterior. Ejemplo 8 Veamos como ejemplo la resoluci n de los l mites ya hechos anteriormente. en la unidad,2x 2 8 0 L H 4x 8 8,0 x 2 2x 1 3 3, 3 x 4 2 x 2 5 L H 12x 3 4 x L H 36 x 2 4 L H 72 x 72 3. b L m L m L m L m,3 x 48 x 2 x 96 x 96 4, Proponemos como actividad la resoluci n de los l mites de la actividad 14. utilizando la Regla de L H pital,5 AS NTOTAS, El estudio de las as ntotas de una funci n que abordaremos a continuaci n est. UNIDAD 1 L MITES Y CONTINUIDAD Matem ticas II 2 de Bachillerato A Prof Santiago Mart n Fern ndez P gina 5 3 L MITES EN EL INFINITO En este punto del tema vamos a definir los conceptos de l mites en el infinito Conviene tener en cuenta antes de empezar que ya no son l mites puntuales como en el apartado anterior y por tanto no tiene sentido hablar de l mites laterales

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