Th eorie des Valeurs Extr emes Thierry Roncalli

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Table des matie res,1 Introduction 1,1 1 La proble matique de la gestion des risques 3. 1 1 1 Cadre re glementaire et allocation des fonds propres 3. 1 1 2 L impact des e ve nements rares sur la mesure du risque 5. 1 2 L hypothe se de normalite en finance 8,1 2 1 La distribution gaussienne 8. 1 2 2 La de pendance normale 15,1 3 Conclusion 18,2 La the orie des valeurs extre mes 21. 2 1 Les statistiques d ordre 21,2 2 Le the ore me de Fisher Tippet 31. 2 3 Caracte risation des domaines d attraction 35,2 4 L approche par processus ponctuels 38.
2 5 La distribution GEV 38,2 6 Les mode les a seuil 44. 3 Extension au cas multidimensionnel 49,3 1 Une introduction aux copules 49. 3 1 1 Repre sentation canonique d une distribution bivarie e 49. 3 1 2 Classe de Fre chet distributions minimale et maximale et ordre de concor. 3 1 3 Copules et variables ale atoires 55,3 1 4 De pendance et corre lation 57. 3 1 5 Extension au cas multidimensionnel 62,3 1 6 Quelques exemples de familles de copules 62. 3 2 Les copules de valeurs extre mes 63,3 3 Caracte risation des domaines d attraction 69.
3 4 L exemple des copules Archimax 73,3 5 Copules et mode lisation financie re 75. 4 Applications a la gestion des risques 79,4 1 Le risque de marche 79. 4 1 1 Construction d une valeur en risque GEV 79,4 1 2 La mesure de l Expected Shortfall et GPD 81. 4 1 3 Programmes de stress testing 82,4 1 3 1 Cas unidimensionnel 83. 4 1 3 2 Cas multidimensionnel 84,4 1 4 De pendance de queue et valeur en risque 85.
4 2 La prise en compte des e ve nements extre mes dans le risque ope rationnel 86. 4 2 1 Mode lisation de la distribution de se ve rite 87. 4 2 2 Aggre gation des risques 89,4 2 3 Me thodes de backtesting 92. 4 2 4 LDA et the orie des extre mes 93,4 3 Le risque de cre dit 94. 4 3 1 Estimation des probabilite s de de faillance 94. 4 3 2 Mode lisation des de fauts joints 94,5 Conclusion 99. Introduction, L intitule du cours est The orie des Valeurs Extre mes Le fil conducteur de ce cours est. d utiliser cette the orie pour comprendre les enjeux majeurs de la gestion des risques Ce. ne sera donc pas un cours de mode lisation de la gestion des risques par la the orie des valeurs. extre mes La raison principale est que celle ci n est su rement pas le bon cadre d analyse C est. pourquoi le sous titre du cours est Mode lisation des Eve nements Rares pour la Gestion. des Risques La the orie des valeurs extre mes sera alors un pre texte pour comprendre l impact. des e ve nements rares sur les mesures de risque, La the orie des valeurs extre mes est pre sente e dans le second chapitre Ne anmoins j indique ici.
quelle est la ligne directrice sous jacente Conside rons n variables ale atoires iid inde pendantes et. de me me loi de distribution F que nous notons X1 Xn Nous cherchons alors a caracte riser. la loi des extrema Soient,n et n le minimum et le maximum de finis par. n Xi min X1 Xn 1 1,n Xi max X1 Xn 1 2, Nous verrons dans la section 2 1 que nous pouvons parfaitement caracte riser la distribution de. n ou n si nous connaissons la distribution F Mais que pouvons nous dire du comportement de. n ou n si F n est pas connue La the orie des valeurs extre mes permet justement de re pondre. a ce type de question car elle cherche a caracte riser les distributions asymptotiques de. lorsque n tend vers l infini Stuart Coles 3 pre sente cette me thodologie de la fac on suivante. By definition extreme values are scarce meaning that estimates are often requi. red for levels of a process that are much greater than have already been observed. This implies an extrapolation from observed levels to unobserved levels and extreme. value theory provides a class of models to enable such extrapolation In lieu of an. empirical or physical basis asymptotic argument is used to generate the extreme va. lue models It is easy to be cynical about this strategy arguing that extrapolation of. models to unseen levels requires a leap of faith even if the models have an underlying. asymptotic rationale There is no simple defense against this criticism except to say. that applications demand extrapolation and that it is better to use techniques that. have a rationale of some sort This argument is well understood and notwithstanding. objections to the general principle of extrapolation there are no serious competitor. models to those provided by extreme value theory Coles 2001 page vii. N en de plaise a ceux qui la supportent il est malheureusement difficile d utiliser la the orie des. valeurs extre mes comme une proce dure statistique robuste Et nous ne pouvons qu adhe rer. aux critiques de Nicolas Bouleau dans son article Splendeurs et mise res des lois de valeurs. Ayant observe durant une pe riode d un sie cle dans une certaine re gion des enre. gistrements sismiques de magnitude comprise entre 0 et 2 est il possible d en de duire. avec quelle probabilite se produira dans la me me re gion durant le sie cle suivant un. se isme de magnitude supe rieure a 4 A un proble me ainsi pose rares seraient ceux. qui re pondraient par l affirmative ne anmoins l usage de plus en plus re pandu dans. le milieu des inge nieurs de proce dures rapides utilisant les lois des valeurs extre mes. conduit a des affirmations de ce type dont l enjeu socio politique est important. notamment par l habit de scientificite qui leur est donne Apre s avoir rappele les. fondements de la the orie des lois des valeurs extre mes et releve quelques unes des. hypothe ses cruciales difficiles a ve rifier en pratique qui la sous tendent nous mon. trons que la me thode qui consiste a caler les parame tres d une des trois lois de valeurs. extre mes a partir des extre mes d un e chantillon fini dont la loi est mal connue est. fortement encourage e par la pression sociale de quantifier les risques graves d autant. plus que de tels errements par la rarete me me des e ve nements conside re s sont peu. re futables, Et la conclusion de Nicolas Bouleau est la suivante. toute de marche attribuant une valeur nume rique pre cise pour la probabilite. d un phe nome ne rare est suspecte sauf si les lois physiques re gissant le phe nome ne. sont explicitement et exhaustivement connues, Dans ce cas quel est l inte re t d utiliser cette the orie pour la gestion des risques Nous pouvons. avancer deux arguments, tout d abord la the orie des valeurs extre mes va nous permettre de comprendre quelles.
sont les hypothe ses sous jacentes des mode les de risque et comment les e ve nements rares. vont se comporter dans ces types de mode les, ensuite elle fournit tout un cadre statistique d e tude des e ve nements rares en e chantillon. La de marche que j adopterai est en fait beaucoup plus proche du cours de Gumbel 1954 que. des textes acade miques plus re cents trop mathe matiques. Avant d aborder la the orie des valeurs extre mes proprement dite je vais rappeler brie vement la. proble matique ge ne rale de la gestion des risques et illustrer pourquoi l hypothe se traditionnelle. de normalite est inadapte e dans ce contexte ci, Remarque 1 Ce cours peut e tre comple te par celui de l ENSAI portant sur La The orie des. Extre mes et la Gestion des Risques de Marche qui est disponible sur le site internet du GRO. http gro creditlyonnais fr, Mode lisation des Eve nements Rares pour la Gestion des Risques 2. 1 1 La proble matique de la gestion des risques, L orientation ge ne rale du cours concerne la gestion des risques Me me si des rappels seront. rapidement faits il est indispensable de conna tre les grandes lignes directrices de la gestion. des risques et les enjeux sous jacents Si vous n e tes pas familiers avec ces the mes vous pouvez. consulte les notes du cours Introduction a la Gestion des Risques qui est aussi disponible sur le. site internet du GRO, 1 1 1 Cadre re glementaire et allocation des fonds propres.
Les e tablissements de cre dit sont soumis a une re glementation prudencielle qui impose une. exigence minimale de fonds propres pour toutes les ope rations bancaires et financie res qui. pre sentent un risque C est la fameuse CAD Capital Adequacy Directive de la Com. mission Europe enne Celle ci est une transcription re glementaire de l Accord de Ba le de 1988. dont le principal inte re t est de fixer un ratio de solvabilite ratio Cooke Celui ci impose que le. rapport des fonds propres tier one tier two sur les encours ponde re s de cre dit soit supe rieur a. 8 Les encours ponde re s de cre dit doivent s interpre ter comme la mesure de risque cre dit Cette. directive a e te modifie e en 1998 pour prendre en compte le risque de marche En janvier 2001. le Comite de Ba le propose une refonte de l Accord de 1988 et un nouveau ratio de solvabilite. le ratio McDonough Et l imple mentation du Nouvel Accord de Ba le devrait se faire en janvier. Trois types de risque sont concerne s par le Nouvel Accord. le risque de cre dit,le risque de marche,et le risque ope rationnel. Le risque de cre dit correspond aux risques encourus par l e tablissement financier qui sont lie s. a la de faillance d une contrepartie ou et a la de gradation de la qualite du cre dit c est a dire. a la volatilite du mark to market du e a une modification du rating Le risque de marche est. le risque de pertes sur les positions du bilan et du hors bilan a la suite de variations des prix. de marche C est donc le risque de volatilite des facteurs de marche taux d inte re t prix des. actions cours de change cours de matie res premie res smile de volatilite etc Enfin le risque. ope rationnel se de finit comme le risque de pertes du es a une inade quation ou a une de faillance. des proce dures personnels syste mes internes ou a des e ve nements exte rieurs Plus simplement. le risque ope rationnel correspond aux pertes qui ne rele vent pas du risque de cre dit ou de marche. mais il ne comprend pas les risques de re putation La re partition initiale de ces risques pour. l industrie c est a dire pour l ensemble des e tablissements financiers de l OCDE que propose le. Comite de Ba le pour le Nouvel Accord est la suivante. Type de risque Re partition,Cre dit 75,Ope rationnel 20. Remarque 2 Contrairement au risque de taux du portefeuille de ne gociation trading book. le risque de taux d inte re t dans le portefeuille bancaire banking book ne fait pas partie de. l exigence minimale en fonds propres premier pilier Celui ci est traite dans le second pilier. c est a dire au niveau du processus de surveillance. Mode lisation des Eve nements Rares pour la Gestion des Risques 3. Par rapport au ratio Cooke le ratio McDonough e largit le pe rime tre des risques retenus sans. modifier le niveau d exigence minimale,Fonds Propres. Risque de Cre dit Risque de Marche Risque Ope rationnel. La re fe rence utilise e par le Comite de Ba le pour de finir la mesure des risques est la Valeur en. Risque Value at Risk ou VaR Me me si cette mesure a e te fortement critique e d un point. de vue acade mique elle correspond a une vraie logique e conomique pour la banque qui est. base e sur le niveau de couverture exige par les actionnaires D un point de vue re glementaire. les niveaux de couverture sont les suivants, Type de risque Proposition de janvier 2001 Proposition de septembre 2001. Cre dit 99 5 99 9,Marche 99 99,Ope rationnel 99 99 9.
Les e tablissements financiers n ont pas attendu la proposition de janvier 2001 et n attendront. pas l imple mentation de janvier 2005 pour,1 mesurer le risque ope rationnel1. 2 calculer des fonds propres e conomiques pour le risque de cre dit. 3 augmenter le niveau de couverture de la VaR marche. 4 et mettre en place une de marche inte gre e de mesure des risques. Ces de marches sont notamment ne cessaires dans les projets d allocation de fonds propres L al. location de fonds propres consiste a re partir de fac on optimale le capital entre les diffe rentes. activite s Celle ci peut se faire a un niveau agre ge retail middle market corporate banking. insurance asset management etc et on parle alors de me thode top down Elle peut aussi se. faire a un niveau beaucoup plus fin c est a dire au niveau de la ligne me tier et dans ce cas. c est une approche bottom up Le crite re naturel d allocation est bien su r la rentabilite du. capital Return on Equity ou ROE Ne anmoins ce crite re ignore une composante impor. tante de la gestion d une banque le risque C est pourquoi on pre fe re utiliser un crite re de. rentabilite ajuste e du risque Risk Adjusted Performance Measurement ou RAPM On. distingue ge ne ralement les fonds propres re glementaires des fonds propres e conomiques calcule s. avec un mode le interne Selon une agence de conseil ame ricaine la re partition des fonds propres. e conomiques pour l industrie pourrait e tre la suivante. Type de risque Re partition,Cre dit 65 75,Marche 10 15. Ope rationnel 15 20, Contrairement aux fonds propres re glementaires le capital e conomique de pend du niveau de. couverture que l e tablissement financier souhaite mettre en place Ce niveau de pend du rating. actuel de la banque ou et de l objectif de rating,Rating BBB A AA AAA. Niveau de couverture 99 75 99 9 99 95 99 97, 1 Enfin pour l instant le nombre de banques dans le monde qui le font est tre s faible.
Mode lisation des Eve nements Rares pour la Gestion des Risques 4. Quelle que soit la mesure de risque re glementaire ou e conomique on constate que les ni. veaux de couverture sont particulie rement e leve s Avec ces niveaux de quantile on manipule. It is easy to be cynical about this strategy arguing that extrapolation of models to unseen levels requires a leap of faith even if the models have an underlying asymptotic rationale There is no simple defense against this criticism except to say that applications demand extrapolation and that it is better to use techniques that have a rationale of some sort This argument is well

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