R Bevilacqua O Menchi APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO

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  • Date:17 Oct 2020
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Introduzione, Nell analisi dei problemi del mondo reale la matematica svolge un ruolo determi. nante In ogni disciplina scientifica e in ogni settore della tecnologia i modelli. matematici che approssimano l evolversi dell evento oggetto di studio consentono. di simulare e quindi prevedere lo sviluppo del fenomeno senza dover effettuare. fisicamente esperimenti complessi costosi e in alcuni casi anche pericolosi nella. progettazione di un velivolo la forma delle ali puo essere successivamente adattata. senza dover costruire alcun prototipo in base ai risultati delle simulazioni numeriche. fatte con il calcolatore lo studio dell inquinamento ambientale quale il propagarsi. di una sostanza tossica nelle acque di un fiume puo essere condotto mediante calco. latore con un adeguato modello matematico senza dover realizzare anche in forma. ridotta un reale pericoloso esperimento, Il processo di risoluzione di un problema del mondo reale puo essere cos schema. tizzato una prima fase di modellizzazione in cui al problema reale si associa un. modello matematico che ne approssima l evoluzione una seconda fase in cui il mo. dello matematico viene analizzato e da questo si ricavano proprieta qualitative della. soluzione come esistenza unicita regolarita una terza fase in cui si individuano. dei metodi di risoluzione e se ne analizza l efficienza infine una quarta fase in cui. il metodo di risoluzione viene implementato su calcolatore mediante un adeguato. linguaggio di programmazione, Un aspetto importante in questo processo e che nella quasi totalita dei casi la. soluzione del problema non e esprimibile in forma esplicita ad esempio mediante. funzioni elementari e comunque le sole proprieta qualitative non sono sufficienti. per gli scopi richiesti Si pensi ad esempio alla traiettoria che deve descrivere una. sonda spaziale per raggiungere un certo obiettivo la funzione che la descrive e. la soluzione di un opportuno sistema di equazioni differenziali in questo caso e. necessario conoscere le coordinate della navicella in un insieme stabilito di istanti. Si presenta quindi la necessita di risolvere algoritmicamente il problema mate. matico cioe di ottenere a partire da un insieme finito di numeri rappresentati. con un numero finito di cifre con un numero finito di operazioni aritmetiche una. informazione approssimata ma adeguata alle richieste della soluzione. Nella risoluzione di problemi di analisi matematica che generalmente hanno natu. ra continua questo processo algoritmico necessariamente discreto poiche finito si. inquadra nel settore noto come analisi numerica, L analisi numerica ha assunto le caratteristiche di una disciplina autonoma solo. con l introduzione e l uso dei calcolatori quando l elaborazione di grandi quantita. di dati ha messo in luce nuovi problemi non emersi nel calcolo manuale e quando. il dover risolvere in modo finito problemi di natura continua ha creato delle nuove. problematiche Fra queste particolare rilevanza ha lo studio del condizionamento. numerico di un problema della stabilita numerica di un algoritmo della complessita. computazionale di un problema e le questioni legate alla discretizzazione di un pro. blema continuo L introduzione e l uso di calcolatori ha dato e sta dando un impulso. notevole al settore dell analisi numerica Sono stati e vengono tuttora realizzati. nuovi ed efficienti metodi numerici che permettono di trattare problemi sempre piu. complessi che era impensabile trattare pochi anni fa. In questi appunti sono esposti solo i piu semplici metodi numerici per risolvere. equazioni non lineari e sistemi lineari e per approssimare funzioni e integrali Infatti. lo scopo non e quello di fornire un manuale di metodi pronti per l uso ma di mettere. in luce le problematiche tipiche del settore numerico in particolare i problemi legati. al condizionamento alla stabilita numerica e al costo computazionale dei metodi. Gli algoritmi piu importanti sono corredati di schemi semplificati di programmi in. Matlab che illustrano come si applicano le formule. Per risolvere davvero un problema numerico conviene fare riferimento alle librerie. di software che implementano i metodi numerici I programmi di queste librerie. soddisfano specifici criteri di qualita in particolare per quanto riguarda l efficienza. e la robustezza consentono quindi di scegliere il metodo piu adatto e nello stesso. tempo di prevedere ogni possibile fonte di errore Attraverso INTERNET e possibile. accedere a NETLIB che contiene una completa collezione di programmi numerici di. dominio publico La lista delle librerie disponibili si ottiene all indirizzo. http www netlib org liblist html, Di particolare interesse per gli argomenti trattati in questi appunti sono.
LINPACK ITPAK EISPACK, che contengono programmi per risolvere problemi lineari rispettivamente risoluzione. di sistemi lineari con metodi diretti con metodi iterativi e calcolo di autovalori. FUNPACK MINPACK QUADPACK, che contengono programmi per calcolare valori di funzioni speciali risolvere equa. zioni e sistemi non lineari approssimare integrali di funzioni di una variabile. Capitolo 1,Analisi dell errore,1 1 La generazione degli errori. Per studiare un fenomeno sia esso naturale quale il moto di un pianeta o sia. esso un prodotto umano quale il propagarsi dell inquinamento atmosferico o la. costruzione di un ponte la matematica fornisce strumenti per realizzare ed analiz. zare dei modelli che descrivono sia pure in modo approssimato il fenomeno stesso. Ad esempio nel modello matematico per la costruzione di un ponte e richiesto il. bilancio delle forze esercitate sui vari elementi del ponte stesso peso degli elementi. peso degli automezzi in transito azione del vento ecc Non si tiene pero conto. delle forze gravitazionali esercitate sugli elementi del ponte dalla luna o dal sole tali. forze sono realmente esistenti e non nulle e quindi dovrebbero essere considerate in. un modello matematico esatto ma possono di fatto essere trascurate in un modello. che approssima il problema reale con errori contenuti. Generalmente un modello matematico e un modello continuo di solito un si. stema di equazioni differenziali che consente di individuare le proprieta qualitative. della soluzione come esistenza unicita regolarita ecc ma spesso non permette di. determinare analiticamente la soluzione E percio necessario effettuare un ulteriore. approssimazione sostituendo il modello continuo con un modello discreto processo di. discretizzazione Questa sequenza di approssimazioni e illustrata schematicamente. nella figura, In ogni passaggio da un blocco all altro viene commesso un errore di approssi. mazione L errore introdotto nel processo di discretizzazione e detto errore analiti. co E importante che gli errori commessi siano tutti dello stesso ordine infatti ha. scarsa utilita calcolare molto accuratamente la soluzione del modello discreto quan. do questo approssima con scarsa precisione il modello continuo o quando il modello. continuo e una grossolana descrizione del fenomeno naturale. 4 Capitolo 1 Analisi dell errore,Fenomeno naturale Modello matematico continuo.
Modello matematico discreto,Metodo di risoluzione, Gli errori che si producono durante la risoluzione sono principalmente dovuti al fatto. che il calcolatore opera su dati numerici rappresentati per mezzo di una sequenza. finita di cifre Cos numeri non razionali come ad esempio o 2 o numeri razionali. con rappresentazione periodica come ad esempio 1 3 possono essere rappresentati. in un calcolatore solo troncandone lo sviluppo e quindi commettendo un errore. Questo tipo di errore che si produce gia nell immissione dei dati prima ancora di. eseguire effettivamente i calcoli viene detto errore di rappresentazione. La rappresentazione con un numero finito di cifre impone inoltre l uso di un arit. metica approssimata aritmetica finita che introduce errori anche nell esecuzione. delle operazioni aritmetiche, Gli errori di rappresentazione dei dati e gli errori prodotti dalle singole ope. razioni si propagano nel corso dei calcoli e generano nella soluzione effettivamente. calcolata degli errori che vengono chiamati rispettivamente errore inerente e errore. algoritmico, Il numero di cifre utilizzate nei calcolatori per rappresentare i dati numerici e per. eseguire le operazioni e in generale abbastanza grande perche gli errori di rappresen. tazione e gli errori prodotti dalle singole operazioni siano piccoli Si potrebbe quindi. pensare che anche l errore inerente e l errore algoritmico siano piccoli per cui non. sia necessario valutare l attendibilita dei risultati ottenuti Purtroppo questo non. e sempre vero perche gli errori durante la propagazione possono essere fortemente. amplificati I seguenti esempi mostrano come la propagazione degli errori dovuti alla. rappresentazione finita e all uso di un aritmetica finita possa alterare i risultati al. di la di ogni ragionevole previsione Gli esempi sono stati implementati in Matlab. I risultati calcolati vengono qui rappresentati in notazione esponenziale con 5 cifre. significative, Esempio Sia p un numero reale non nullo L equazione di secondo grado. x2 qx 1 0 dove q p 1 p, ha le soluzioni x1 p e x2 1 p che possono essere calcolate con la formula.
risolutiva p p,q q2 4 q q2 4,1 1 La generazione degli errori 5. Si calcolano le soluzioni per valori di p 10k con k che va da 2 a 8 Si ottiene cos. la seguente tabella in cui accanto alle soluzioni x. e2 effetivamente calcolate viene,dato anche l errore relativo. e1 e1 x2 x,2 102 1 0000 102 0 10 2 1 0000 10 2 1 9897 10 13. 3 103 1 0000 103 0 10 3 1 0000 10 3 2 3647 10 11,4 104 1 0000 104 0 10 4 1 0000 10 4 2 0227 10 9. 5 105 1 0000 105 0 10 5 1 0000 10 5 3 3854 10 7,6 106 1 0000 106 0 10 6 1 0000 10 6 7 6145 10 6.
7 107 1 0000 107 0 10 7 9 9652 10 8 3 4848 10 3,8 108 1 0000 108 0 10 8 1 4901 10 8 4 9012 10 1. Mentre la soluzione calcolata x e1 e corretta la soluzione x. e2 ha un errore relativo, crescente con p e per p 10 solo la prima cifra del risultato fornito dal calcolatore. e corretta Per questa equazione poiche il prodotto delle radici e uguale a 1 la. soluzione x2 puo essere calcolata anche per mezzo della formula. x2 1 x1 1 2, Applicando la 1 1 per calcolare x1 e la 1 2 per calcolare x2 si ottengono risultati. affetti da errori trascurabili 2, Esempio Proviamo ad utilizzare il calcolatore per avere delle indicazioni sul. valore del limite p,lim f x f x x x2 1 x 1 3, calcolando il valore di f x per valori crescenti di x Si osservi che la funzione f x.
data in 1 3 puo essere scritta anche nelle forme,f x x x2 1 x2 1 4. E quindi possibile calcolare f x in questi tre modi diversi Nella tabella che segue. sono riportati i valori fe1 fe2 e fe3 ottenuti usando rispettivamente le 1 3 1 4 e. 1 5 per x che va da 107 a 9 107, Le informazioni ottenute sono evidentemente discordanti secondo i valori di fe1. e di fe2 si potrebbe dedurre che,6 Capitolo 1 Analisi dell errore. x fe1 fe2 fe3,1 0000 107 5 0291 10 1 5 0000 10 1 5 0000 10 1. 2 0000 107 5 2154 10 1 5 0000 10 1 5 0000 10 1,3 0000 107 4 4703 10 1 5 0000 10 1 5 0000 10 1.
4 0000 107 5 9605 10 1 5 0000 10 1 5 0000 10 1,5 0000 107 3 7253 10 1 5 0000 10 1 5 0000 10 1. 6 0000 107 3 7253 10 1 5 0000 10 1 5 0000 10 1,7 0000 107 0 0 5 0000 10 1. 8 0000 107 0 0 5 0000 10 1,9 0000 107 0 0 5 0000 10 1. mentre secondo i valori di fe3 si deduce il valore corretto del limite. lim f x 0 5 2, Esempio Assegnato un valore di x per approssimare il valore di ex si utilizza lo. sviluppo in serie,x2 x3 x4 xn, opportunamente troncato Si osserva che esiste un n per cui sommando n termini.
della serie con n n le prime cifre non si modificano piu Ad esempio per x 20. 202 203 204 20 n, e le prime 5 cifre delle approssimazioni calcolate sommando n termini si stabilizzano. sul valore 6 1383 10 9 per n 75 Calcolando per confronto il valore di e 20 con la. funzione di libreria exp si ottiene il valore 2 0612 10 9 Una differenza cos elevata. indica che il valore da noi calcolato e inattendibile E pero possibile calcolare lo. stesso valore sfruttando la proprieta che e x 1 ex per cui e. e20 202 203, Operando in questo modo si ottiene in effetti 2 0612 10 9 2. Dagli esempi esaminati risulta che gli errori generati dalla rappresentazione con. un numero finito di cifre e dall uso di un aritmetica finita possono essere cos elevati. da togliere ogni validita ai risultati ottenuti ed e quindi molto importante riuscire a. 1 2 Problemi mal condizionati 7, valutarne e controllarne la propagazione Si e visto anche che utilizzando un proce. dimento di calcolo opportuno e possibile contenere tali errori Esistono quindi per. uno stesso problema procedimenti di calcolo algoritmi che possono generare errori. in misura diversa In questi problemi elementari dei quali si conosce la soluzione e. stato facile distinguere gli algoritmi numericamente instabili ossia quelli per cui si. presenta una elevata propagazione dell errore da quelli numericamente stabili In. generale nei problemi concreti tale distinzione non e facile ed e quindi molto impor. tante disporre di tecniche per stabilire a priori se un dato algoritmo e numericamente. stabile o instabile,1 2 Problemi mal condizionati, Esistono anche problemi tali che qualunque algoritmo venga utilizzato per risolverli. l errore generato nel risultato risulta elevato e talvolta tale da rendere privo di signifi. APPUNTI DI CALCOLO NUMERICO Introduzione Nell analisi dei problemi del mondo reale la matematica svolge un ruolo determi nante In ogni disciplina scienti ca e in ogni settore della tecnologia i modelli matematici che approssimano l evolversi dell evento oggetto di studio consentono di simulare e quindi prevedere lo sviluppo del fenomeno senza dover e ettuare sicamente

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