JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA ILMU MATEMATIKA DAN

Jurnal Pendidikan Matematika Ilmu Matematika Dan-Free PDF

  • Date:07 Nov 2019
  • Views:113
  • Downloads:1
  • Pages:9
  • Size:920.81 KB

Share Pdf : Jurnal Pendidikan Matematika Ilmu Matematika Dan

Download and Preview : Jurnal Pendidikan Matematika Ilmu Matematika Dan


Report CopyRight/DMCA Form For : Jurnal Pendidikan Matematika Ilmu Matematika Dan


Transcription:

ISSN 2088 687X 99, IMPLEMENTASI ALGORITMA EXPECTATION MAXIMIZATION. UNTUK ESTIMASI PARAMETER MODEL DISTRIBUSI CAMPURAN. Suparman, Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UAD. Jl Prof Dr Soepomo SH Janturan Yogyakarta, suparmancict yahoo co id. ABSTRAK, Distribusi campuran merupakan distribusi yang sangat fleksibel untuk memodelkan data . Jika distribusi campuran dicocokkan terhadap data maka umumnya parameternya tidak dketahui . Tulisan ini mengkaji masalah penaksiran parameter distribusi campuran . Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter distribusi campuran adalah metode. kemungkinan maksimum Namun penaksir kemungkinan maksimum tidak dapat ditemukan secara. analitik Untuk mengatasi masalah tersebut diusulkan Algoritma EM Algoritma EM terdiri atas dua. tahap yaitu tahap ekspektasi dan tahap maksimisasi Algoritma EM konvergen menuju penaksir. kemungkinan maksimum , Kinerja Algoritma EM diuji dengan menggunakan data simulasi Hasil pengujian.
menunjukkan bahwa Algoritma EM dapat mengestimasi parameter distribusi campuran dengan baik . Selanjutnya Algoritma EM diimplementasikan pada data riil yang dijumpai dalam kehidupan sehari . hari , Kata Kunci Distribusi Campuran Penaksir Kemungkinan Maksimum Algoritma EM . ABSTRACT, Mixture distribution is a very flexible distribution for modeling data If the mixture. distribution fitted to the data the parameters are generally not known This paper examines the. estimation problem of the distribution mixture parameter . The method used to estimate the parameters of a mixture distribution is the maximum. likelihood method However the maximum likelihood estimator can not be found analytically To. overcome these problems the EM algorithm proposed EM algorithm consists of two phases . expectation and maximization stage EM algorithm converges to the maximum likelihood estimator . Performance of the EM algorithm is tested using simulated data The results show that the. EM algorithm can estimate the mixture distribution parameter Further EM algorithm is implemented. on real data encountered in everyday life , Keywords Mixture distributions Maximum Likelihood Estimator EM algorithm . AdMathEdu Vol 3 No 1 Juni 2013 Implementasi Suparman . 100 ISSN 2088 687X, Pendahuluan utama adalah cara mengestimasi parameter. Model distribusi campuran , mixture distribution merupakan model Estimasi parameter dengan.
distribusi yang sering digunakan dalam menggunakan Metode Kemungkinan. bidang rekayasa dan kedokteran Dalam Maksimum tidak dapat ditentukan secara. bidang teknik industri model distribusi analitik karena fungsi kemungkinan untuk. campuran digunakan untuk penentuan parameter mempunyai bentuk. spesifikasi di industri makanan Dalam n, L x g x 1 h x . kedokteran model distribusi campuran i 1, digunakan sebagai model distribusi dari Untuk mengatasi masalah tersebut . sinyal resonansi magnetik Dalam bidang dalam penelitian ini digunakan Algoritma. teknik komputer model distribusi Expectation Maximization Dempster et. campuran digunakan untuk mendeteksi al 1977 Algoritma Expectation . struktur komunitas jaringan Aplikasi dari Maximization merupakan teknik. distribusi campuran dapat ditemukan komputasi yang sering digunakan dalam. diberbagai literatur misalnya Schlattman komputasi statistika Gentle 2002 . 2009 dan Mergersen et al 2011 Kinerja algoritma diuji dengan. Jika model distribusi campuran menggunakan data simulasi Apabila. dicocokkan terhadap data maka umumnya dengan data simulasi Algoritma. parameter model tidak diketahui Expectation Maaximization dapat. Mengingat begitu banyak model distribusi mengestimasi parameter dengan baik. campuran di sini akan dibatasi pada model maka Algoritma Expextation . distribusi campuran dengan bentuk fungsi Maximization diimplementasikan pada. kepadatan probabilitas sebagai berikut data real , f x g x 1 h x . di mana adalah parameter Sedangkan Metode Penelitian. g x dan h x keduanya merupakan Penelitian dimulai dengan. distribusi yang diketahui Misalkan mengkaji berbagai pustaka terkait dengan. metode estimasi kemungkinan maksimum ,x 1 x 2 x n merupakan sampel random. distribusi campuran algoritma,yang diambil dari suatu populasi yang.
expectation maximization dan estimasi,berdistribusi campuran Berdasarkan. kemungkinan maksimum dengan,sampel random tersebut permasalahan. menggunakan algoritma expectation , maximization Berdasarkan teori yang. Implementasi Suparman AdMathEdu Vol 3 No 1 Juni 2013. ISSN 2088 687X 101, dihasilkan dari berbagai kajian pustaka Distribusi Campuran. tersebut selanjutnya dibuat program Misalkan x1 x2 xn merupakan. komputasinya dengan menggunakan variabel random Variabel random ini. MATLAB Program komputer digunakan berdistribusi campuran dengan fungsi. untuk menemukan penaksir kemungkinan kepadatan probabilitas Robert and. maksimum distribusi campuran dengan Casella 1999 , menggunakan expectation maximization f x g x 1 h x .
di mana adalah parameter Sedangkan, Penaksir Kemungkinan Maksimum g x dan h x keduanya merupakan. Misalkan x 1 x 2 x n merupakan distribusi yang diketahui Teori mengenai. sampel random yang diambil dari suatu distribusi campuran dapat ditemukan. populasi dengan fungsi kepadatan f x dalam Box and Draper 2007 McLachlan. Metode kemungkinan maksimum adalah and Khrishnan 2008 dan McLachlan and. suatu metode untuk memperoleh penaksir Peel 2000 , untuk parameter sedemikian sehingga Dari fungsi kepadatan probabilitas. dapat membuat maksimum fungsi f x fungsi kemungkinan untuk. kemungkinan parameter mengambil bentuk, L f x 1 x 2 x n L x f x 1 x 2 x n . i 1 f x i n, f x i , i 1,Untuk beberapa distribusi pencarian nilai. n,maksimum untuk fungsi kemungkinan g x i 1 h x i .
i 1,dapat dilakukan dengan menggunakan, Penaksir kemungkinan maksimum. diferensial , untuk parameter adalah nilai yang, Namun untuk banyak distribusi . membuat fungsi kemungkinan L ,termasuk distribusi campuran pencarian. maksimum Namun hal ini tidak dapat,tidak dapat dilakukan dengan. ditentukan secara analitik Untuk itu,menggunakan diferensial Salah satu.
diusulkan penggunaan Algoritma,metode yang dapat digunakan untuk. Expectation Maximization untuk,mengatasi hal ini adalah algoritma. menentukan penaksir kemungkinan,Expectation Maximization . maksimum untuk parameter Teori, mengenai Algoritma Expectation . AdMathEdu Vol 3 No 1 Juni 2013 Implementasi Suparman . 102 ISSN 2088 687X,Maximization dapat ditemukan dalam Ez x 0 .
log k z x ,berbagai literatur Misalnya Gupta and, Di mana ekspektasi diambil terhadap. Chen 2011 McLachlan and Khrishnan, distribusi k z x Pendekatan. 2008 dan Watanabe and Yamaguchi, Algoritma Expectation Maximization. 2004 , untuk memaksimumkan L x cukup, Algoritma Expectation Maximization dimaksimumkan E log Lc x z . Untuk melakukan hal ini mula Sehingga dimulai dari 0 . mula tambahkan z1 z2 zn di mana zi i algoritma Expectation Maximization. 1 2 n menunjukkan dari mana xi terdiri atas dua langkah dan iterasi ini. berasal Sehingga dilakukan hingga konvergen , x i z i 1 g x 1 Langkah Expectation hitung.
x i z i 0 h x q k E z x k 1 , log Lc x z ,Misalkan Lc x z menyatakan fungsi. kemungkinan lengkap Maka bentuk fungsi k 1 g x , ,kemungkinan lengkap adalah k 1 g x 1 k 1 h x . n, 2 Langkah Maximization tentukan k , Lc x z z i g x i 1 z i h x i . i 1 untuk memaksimumkan q k , zi 1 1 zi, 1 n k 1 g x i . k , i 1 k 1 , Persamaan yang menjadi dasar dari n g x i 1 k 1 h x i .
Algoritma Expectation Maximization,adalah Barisan 1 2 konvergen. f x z menuju maksimum lokal fungsi, k z x , g x kemungkinan maksimum L x . di mana k z x adalah distribusi Berikut merupakan listing program. bersyarat dari data z diberikan data x yang ditulis dalam instruksi bahasa. Persamaan ini menghubungkan antara pemrograman MATLAB untuk penentuan. fungsi kemungkinan lengkap Lc x z penaksir kemungkinan maksimum untuk. parameter distribusi campuran ,dan fungsi kemungkinan L x yaitu. clear all,untuk suatu 0 clc,log L x E z x 0 log Lc x z . n 250 , Implementasi Suparman AdMathEdu Vol 3 No 1 Juni 2013.
ISSN 2088 687X 103, mu1 0 sigma1 2 Data Sintesis Berdistribusi Campuran. mu2 5 sigma2 3 Normal,teta 0 6 , Gambar 1 menunjukkan 500 data simulasi. g normrnd mu1 sigma1 n 1 dari populasi berdistribusi N 0 4 . h normrnd mu2 sigma2 n 1 ,x teta g 1 teta h ,gx normpdf x mu1 sigma1 . hx normpdf x mu2 sigma2 ,tetaj 0 1 ,m 50 ,mtetaj zeros m 1 . for j 1 m , metaj j mean tetaj gx tetaj gx, 1 tetaj hx .
end , Gambar 1 Superposisi antara histogram,plot mtetaj . dan kurva untuk 500 data simulasi, berdistribusi N 0 4 . Hasil dan Pembahasan, Sebagai ilustrasi di sini metode Gambar 2 menunjukkan 500 data simulasi. bootstrap akan diimplementasikan untuk dari populasi berdistribusi N 5 9 . menguji hipotesis mengenai dua mean,populasi pada data sintesis studi simulasi . dan data riil studi kasus Studi simulasi,ditempuh untuk mengkonfirmasi kinerja.
dari pendekatan yang diusulkan apakah,dapat bekerja dengan baik Sedangkan. studi kasus diberikan untuk memberikan,contoh penerapan penelitian dalam. memecahkan permasalahan dalam, Gambar 2 Superposisi antara histogram. kehidupan sehari hari Komputasi ditulis, dan kurva untuk 500 data simulasi. dalam bahasa pemrograman MATLAB, berdistribusi N 5 9 .
Chapman 2009 , AdMathEdu Vol 3 No 1 Juni 2013 Implementasi Suparman . 104 ISSN 2088 687X, Selanjutnya dengan mengambil n 500 Gambar 4 Lima puluh iterasi Algoritma. 0 6 g x N 0 4 dan h x N 5 9 EM dengan nilai awal 0 1 berdistribusi. dibuat data simulasi berdistribusi campuran normal . campuran Datanya ditunjukkan pada,Gambar 3 Untuk menunjukkan bahwa pengambilan. nilai awal dapat dilakukan secara, sembarang maka pada penghitungan. penaksir parameter diulangi dengan, menggunakan 0 0 9 Ternyta diperoleh.
0 6726 , Hasil tiap iterasi dari, algoritma Expectation maximization. ditunjukkan oleh Gambar 5, Gambar 3 Superposisi antara histogram. dan kurva untuk 500 data simulasi, berdistribusi 0 6N 0 4 0 4N 5 9 . Berdasarkan data ini selanjutnya,parameter diestimasi dengan. menggunakan algoritma Expectation , Maximization Dengan mengambil 0 Gambar 5 Lima puluh iterasi Algoritma.
0 1 diperoleh 0 6726 Hasil tiap, EM dengan nilai awal 0 9 berdistribusi. iterasi dari algoritma Expectation campuran normal . maximization ditunjukkan oleh Gambar 4, Jadi tidak terdapat perbedaan nilai estimasi. baik dimulai dari nilai awal 0 1 maupun, 0 9 , Data Sintesis berdistribusi Campuran. Exponensial, Selanjutnya dengan mengambil n 500 , 0 8 g x EXP 1 dan h x EXP 5 . Implementasi Suparman AdMathEdu Vol 3 No 1 Juni 2013. ISSN 2088 687X 105,dibuat data simulasi berdistribusi.
campuran Berdasarkan data ini ,selanjutnya parameter diestimasi dengan. menggunakan algoritma Expectation ,Maximization Dengan mengambil 0 . 0 1 diperoleh 0 7167 Hasil tiap, ,iterasi dari algoritma Expectation . maximization ditunjukkan oleh Gambar 6, Gambar 7 Lima puluh iterasi Algoritma. EM dengan nilai awal 0 9 dan data, berdistribusi campuran eksponensial .
Jadi tidak terdapat perbedaan nilai estimasi, baik dimulai dari nilai awal 0 1 maupun. 0 9 , Gambar 6 Lima puluh iterasi Algoritma Kesimpulan. EM dengan nilai awal 0 1 dan data Dalam artikel ini dikembangkan. berdistribusi campuran eksponensial estimasi parameter distribusi campuran. dengan menggunakan Algoritma EM , Untuk menunjukkan bahwa pengambilan Kinerja Algoritma EM diuji. nilai awal dapat dilakukan secara menggunakan data simulasi dan nampak. sembarang maka pada penghitungan bahwa Algoritma EM dapat mengestimasi. penaksir parameter diulangi dengan parameter distribusi campuran dengan baik. menggunakan 0 0 9 Ternyata,diperoleh 0 7167 Hasil tiap iterasi. dari algoritma Expectation maximization,ditunjukkan oleh Gambar 7.
AdMathEdu Vol 3 No 1 Juni 2013 Implementasi Suparman . 106 ISSN 2088 687X,Pustaka Robert C P and Casella G 1999 . Monte Carlo Statistical Methods , Box G E P and Draper N R 2007 . Springer Texts in Statistics , Response Mixtures and Ridge. Analyses John Wiley Sons Schlattman P 2009 Medical. Applications of Finite Mixture, Chapman S J 2009 Essentials of. Models Springer , Matlab Programming Cengage, Learning Watanabe M and Yamaguchi K 2004 .
The EM Algorithm and Related, Dempster A P Laird N M and Rubin . Statistical Models Marcel, D B 1977 Maximum, Dekker . Likelihood from Incomplete Data, via EM Algorithm J Roy Statist . Soc Ser B 39 1 38 , Gentle J E 2002 Elements of, Computational Statistics . Springer , Gupta M R and Chen Y 2011 Theory, and Use of the EM Algorithm .
Now Publishers, Mergersen K L Robert C P and, Titterngton D M 2011 . Mixtures Estimation and, Applications John Wiley and. Sons , McLachlan G and Khrishnan T 2008 , The EM Algorithm and. Extensions John Wiley Sons , McLachlan G and Peel D 2000 Finite. Mixture Models John Wiley , Sons , Implementasi Suparman AdMathEdu Vol 3 No 1 Juni 2013.
JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA ILMU MATEMATIKA DAN MATEMATIKA TERAPAN ISSN 2088 687X Akhmad Fadholi Pemanfaatan Suhu Udara dan Kelembapan Udara dalam Persamaan Regresi untuk Simulasi Prediksi Total Hujan Bulanan di Pangkalpinang 1 16 Damianus D Samo Kreativitas Siswa dalam Memecahkan Masalah Matematika Ditinjau dari Kemampuan Matematika Siswa 17 26 Erfan Yudianto Profil Pengetahuan

Related Books