Dispense GEOMETRIA base DiMaI Dipartimento di

Dispense Geometria Base Dimai Dipartimento Di-Free PDF

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Def Sia data una retta orientata r e sia O un qualsiasi suo punto Si chiama semiretta di. origine O l insieme costituito dal punto O e da tutti i punti di r che precedono oppure. seguono O nel verso fissato, Def si chiama segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e dai punti. della retta orientata AB compresi tra A e B, Def due segmenti si dicono consecutivi quando hanno in comune soltanto un estremo. Def due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi e giacciono sulla stessa. Def Due rette incidenti r ed s si dicono fra loro perpendicolari od ortogonali o normali. quando formano quattro angoli retti, Def due rette complanari si dicono parallele se sono coincidenti oppure se non hanno. alcun punto in comune, Def in un piano si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio l insieme di tutte. le rette del piano parallele ad una retta data, Def in un piano si chiama fascio di rette proprio di centro o sostegno O l insieme di.
tutte le rette del piano concorrenti nel punto O, Teorema per un punto appartenente ad una retta passa una ed una sola retta. perpendicolare, Teorema in un piano per un punto non appartenente ad una retta data passa una ed. una sola retta perpendicolare a questa, Def Si chiama distanza di un punto da una retta il segmento di retta perpendicolare. condotto dal punto alla retta, Def in un piano si chiama simmetria di asse r simmetria assiale quella corrispondenza. biunivoca fra i punti del piano la quale ad ogni punto A associa il punto A tale che il. segmento AA sia perpendicolare ad r ed il suo punto medio M stia su r. Def si chiama simmetria centrale di centro O quella corrispondenza biunivoca fra i. punti del piano la quale ad ogni punto A associa il punto A del piano che appartiene alla. retta passante per O ed A ed simmetrico di A rispetto O. Assioma di appartenenza del piano esistono sottoinsiemi propri infiniti dello spazio. detti piani che godono delle seguenti propriet, a per ogni terna di punti non allineati dello spazio esiste uno ed un solo piano che li.
b se una retta ha due punti in comune con un piano essa inclusa nel piano. Def punti e rette appartenenti al medesimo piano si dicono complanari. Def si chiama fascio di rette incidenti l insieme di tutte le rette di un piano passanti per. uno stesso punto A Il punto A si dice centro o sostegno del fascio. Def Ogni retta r di un piano divide l insieme degli ulteriori suoi punti in due parti non. vuote Si chiama semipiano di bordo r l unione di una di queste due parti con la retta r. Def Si chiama figura piana convessa ogni sottoinsieme non vuoto F del piano che gode. della seguente propriet se due punti distinti A e B appartengono ad F il segmento AB. incluso in F, Def si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui un piano diviso da due semirette. aventi la stessa origine incluse queste due semirette. Le due semirette appartenenti ad ambedue gli angoli si chiamano lati dell angolo e. l origine comune delle due semirette si chiama vertice dell angolo. Per indicare un angolo di lati OA ed OB si usa scrivere AO B o pi semplicemente O. oppure a b, Def un angolo si dice convesso quando non contiene al suo interno i prolungamenti dei. lati Un angolo si dice concavo quando contiene al suo interno il prolungamento dei lati. Due rette che si intersecano in un punto O dividono il piano in quattro angoli convessi. Def si dice che due angoli sono opposti al vertice se i lati dell uno sono i prolungamenti. dei lati dell altro, Def angolo PIATTO angolo i cui lati sono semirette opposte. angolo GIRO angolo i cui lati sono semirette coincidenti e che. comprende tutti i punti del piano, angolo RETTO angolo formato da due rette che intersecandosi. suddividono il piano in quattro angoli uguali, angolo NULLO angolo i cui lati sono coincidenti e che non ha alcun.
punto interno, angoli CONSECUTIVI hanno in comune il vertice e soltanto un lato. angoli ADIACENTI sono consecutivi e i lati non comuni sono l uno il. prolungamento dell altro semirette opposte, angoli COMPLEMENTARI angoli la cui somma d l angolo retto. angoli SUPPLEMENTARI angoli la cui somma d l angolo piatto. Unit di misura degli angoli,Gradi sessagesimali, 1 definito come la novantesima parte di un angolo retto. Angolo giro 360,Angolo piatto 180,Angolo retto 90,Gradi centesimali. 1g definito come la centesima parte di un angolo retto. Notazione g c cc,Angolo giro 400 g,Angolo piatto 200 g.
Angolo retto 100 g, 1 rad definito come l angolo al centro di una circonferenza di raggio arbitrario che. sottende un arco di lunghezza eguale al suo raggio. 3 1415926535897932384626433832795 4 tan 1 1,Angolo giro 2. Angolo piatto,Angolo retto 2,Gradi millesimali,Angolo giro 6400 millesimi. Trasformazioni fra unit di misura degli angoli,utilizzo delle proporzioni. g 10 9 360 g 400g,rad 180 360 rad 2,g rad 200 g 400g rad 2.
Ogni segmento orientato da O a P che chiamiamo vettore applicato OP caratterizzato. da tre propriet, una direzione definita dalla retta contenente O e P. un verso uno dei due possibili sulla retta, un modulo costituito da un numero reale non negativo che rappresenta. la lunghezza del segmento in un opportuna unit di misura. Un vettore pu essere indicato o mediante una lettera corsiva con una freccia v o. scrivendo OP oppure con la notazione O P dove O indica l origine e P il secondo. estremo del vettore,Il modulo del vettore indicato con OP. Somma di vettori,Regola del parallelogramma, Si definisce somma di due vettori u e v applicati in un punto O il vettore avente. direzione verso e modulo della diagonale del parallelogramma determinato da u e v e si. indica con u v,Regola della poligonale, La somma di pi vettori data dal vettore che unisce un dato punto O con l ultimo estremo.
della linea poligonale i cui lati sono rappresentanti dei singoli vettori e tracciati l uno. consecutivamente all altro a partire dal punto O,L addizione fra vettori gode delle propriet. commutativa,associativa,il vettore nullo l elemento neutro. Differenza di vettori, Due vettori si dicono opposti quando hanno egual modulo stessa direzione e versi. contrari L opposto di un vettore v si indica con v. Si definisce differenza di due vettori u e v e si indica con u v la somma di u con. l opposto del vettore v,Prodotto di un vettore per un numero reale. Sia u un vettore non nullo ed a un numero reale diverso da 0 Si chiama prodotto del. numero a per il vettore u e si indica con a u il vettore che ha. la stessa direzione di u, il verso concorde o contrario a quello di u a seconda che il numero a sia.
positivo o negativo, il modulo eguale al prodotto del modulo di u per il valore assoluto di a. Sistemi di riferimento,Ascisse sulla retta, Consideriamo una retta r e su di essa un punto O che chiamiamo origine fissiamo un. verso come positivo e avremo cos una retta orientata Prendiamo poi un segmento u e lo. chiamiamo unit di misura Ad ogni punto P della retta corrisponde la misura x del. segmento OP rispetto ad u, Il numero x sar positivo se P si trova sulla semiretta positiva altrimenti sar negativo. Viceversa ad ogni numero reale x corrisponder un punto P della retta tale che la misura. della distanza di P da O sia uguale ad x Esiste quindi una corrispondenza biunivoca e. continua tra i punti della retta ed i numeri reali ad ogni numero reale corrisponde uno ed. un solo punto della retta e ad ogni punto della retta corrisponte uno ed un solo numero. Def il rapporto x si chiama ascissa del punto P, La misura della distanza tra due punti P1 e P2 data dal valore assoluto della differenza. algebrica tra le ascisse dei due punti d x2 x1,L ascissa del punto medio M data da x M.
Coordinate cartesiane nel piano, Fissiamo sul piano due rette orientate non parallele Chiamiamo origine il loro punto. d incontro O assi coordinati le due rette orientate e precisamente una di esse si chiamer. asse delle ascisse o delle x e l altra asse delle ordinate o asse y. Preso ora un punto P qualunque del piano da esso si conducano le parallele agli assi e. siano A e B i loro punti d intersezione con l asse delle x e delle y rispettivamente. Fissata una unit di misura diciamo a e b le misure dei segmenti orientati OA e OB I due. numeri cos trovati si chiamano coordinate cartesiane del punto P In tal modo ad ogni. punto del piano abbiamo associato una coppia di numeri reali. Viceversa dati due numeri reali a e b sempre possibile determinare uno ed un solo. punto che abbia per ascissa a e per ordinata b La corrispondenza dei punti del piano con. le coppie ordinate di numeri reali quindi biunivoca. Si osservi che un sistema di coordinate individuato dai due assi e dall unit di misura. Inoltre i due assi dividono il piano in quattro angoli o quadranti che prendono il nome di. primo I secondo II terzo III e quarto IV Nella numerazione dei quadranti si comincia. da quello a destra in alto e si prosegue secondo il verso antiorario. Solitamente gli assi coordinati vengono scelti ortogonali e si ha quindi un sistema di. riferimento cartesiano ortogonale, I sistemi di riferimento sono solitamente indicati con Oxy. Dato un sistema di riferimento possibile individuare una simmetria assiale rispetto uno. degli assi o una simmetria centrale rispetto l origine. Fissato sul piano un sistema di assi cartesiani ortogonali diciamo x1 y1 e x2 y2. rispettivamente le coordinate di due punti P1 e P2. Per i teorema di Pitagora applicato al triangolo P1QP2 si ha. d P1 P2 P1P2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2, Volendo invece individuare le coordinate del punto medio del segmento P1P2 per il. teorema di Talete si ha che,Le coordinate del punto M risultano. x1 x 2 y1 y 2,Elementi di TRIGONOMETRIA, Def un angolo si dice orientato quando stabilito quale dei due lati deve considerarsi.
come primo lato, Def l angolo orientato si dice positivo quando descritto a partire dal lato di origine. mediante una rotazione antioraria attorno all origine L angolo detto negativo se la. rotazione avviene in senso orario, Circonferenza goniometrica una circonferenza orientata di raggio unitario associata. ad un sistema di assi cartesiani ortogonali aventi per origine il centro della circonferenza. stessa Il semiasse positivo delle x si assume come origine degli angoli e si considera. come verso positivo degli angoli quello antiorario. Introdotta la circonferenza goniometrica si danno le seguenti definizioni. sen sen AO,cos cos AO,TANGENTE OA,cotg cotg AO,COTANGENTE OA. Oltre a queste funzioni circolari ce ne sono altre due di minore importanza che qui citiamo. SECANTE sec,COSECANTE cosec, Esaminiamo ora le principali caratteristiche delle prime quattro funzioni introdotte. Seno Coseno,1 sen 1 1 cos 1, positivo nel I e nel II quadrante positivo nel I e nel IV quadrante.
negativo nel III e nel IV quadrante negativo nel II e nel III quadrante. crescente nel I e nel IV quadrante crescente nel III e IV quadrante. decrescente nel II e nel III decrescente nel I e nel II quadrante. quadrante periodico di periodo 2,periodico di periodo 2. Tracciando il grafico delle funzioni y sen x e y cos x dove x la misura dell angolo. in radianti e y il corrispettivo valore della funzione goniometrica si evidenzia come le due. siano sfasate di 90,Tangente Cotangente,discontinua discontinua. non definita in k 2 k Z non definita in k k Z, positiva nel I e nel III quadrante positiva nel I e nel III quadrante. negativa nel II e nel IV quadrante negativa nel II e nel IV quadrante. sempre crescente sempre decrescente,periodica di periodo periodica di periodo. Riportiamo i valori numerici delle funzioni fondamentali di alcuni angoli notevoli. Angolo Angolo in,in gradi radianti,SEN COS TG COTG.
Facolt di Scienze della Formazione Corso di Laurea in Politica del Territorio Dispense del Corso di GEOMETRIA Dott Ing Piemonte Andrea Assioma propriet assunta come vera e fondamentale Teorema propriet verificate con deduzione logica Si distinguono IPOTESI ci che si suppone sopra gli elementi su cui verte il teorema TESI conclusione del teorema DIMOSTRAZIONE

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