C lculo Num rico Luis Castellanos

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C lculo Num rico Luis Castellanos,Tabla de Contenido. 1 INTRODUCCI N 1,2 CONCEPTOS B SICOS ERROR 2,2 1 ALGUNOS CONCEPTOS B SICOS 2. 2 2 TIPOS DE ERRORES 2,2 3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS 3. 2 4 F RMULAS PARA EL C LCULO DE ERRORES 4,2 5 EJERCICIOS 6. 3 M TODOS QUE USAN INTERVALOS 7,3 1 M TODO GR FICO 7.
3 2 M TODO DE BISECCI N 8,3 3 M TODO DE REGLA FALSA 11. 3 4 EJERCICIOS 13,4 M TODOS ABIERTOS 14,4 1 ITERACI N DE PUNTO FIJO 14. 4 2 M TODO DE NEWTON RAPHSON 16,4 3 M TODO DE LA SECANTE 18. 4 4 M TODO DE RA CES M LTIPLES 20,4 5 EJERCICIOS 21. 5 SISTEMAS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 23,5 1 MATRICES 23.
5 2 ELIMINACI N GAUSSIANA SIMPLE 25,5 3 M TODO DE GAUSS JORDAN 27. 5 4 M TODO DE GAUSS SEIDEL 28,5 5 EJERCICIOS 31,6 AJUSTE DE CURVAS 33. 6 1 REGRESI N LINEAL 33,6 2 REGRESI N POLINOMIAL 37. 6 3 INTERPOLACI N DE NEWTON 41,6 4 INTERPOLACI N DE LAGRANGE 44. 6 5 INTERPOLACI N C BICA SEGMENTARIA 45,6 6 EJERCICIOS 47.
7 DIFERENCIACI N E INTEGRACI N NUM RICA 49,7 1 F RMULAS DE INTEGRACI N DE NEWTON COTES 49. 7 2 INTEGRACI N DE ROMBERG 55,C lculo Num rico Luis Castellanos. 7 3 CUADRATURA GAUSSIANA 63,7 4 EJERCICIOS 68, 8 SOLUCI N NUM RICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES 69. 8 1 M TODO DE EULER 69, 8 2 M TODO DE EULER CON SERIE DE TAYLOR DE ORDEN SUPERIOR 71. 8 3 M TODO DE RUNGE KUTTA 71,8 4 SISTEMAS DE ECUACIONES 81.
8 5 M TODOS DE PASOS M LTIPLES 84,8 6 EJERCICIOS 92. 9 REFERENCIAS BIBLIOGR FICAS 95,10 AP NDICE 1 MATEM TICOS ILUSTRES 96. 10 1 BROOK TAYLOR 96,10 2 COLIN MACLAURIN 98,10 3 ISAAC NEWTON 98. 10 4 JOSEPH RAPHSON 100,10 5 CARL FRIEDRICH GAUSS 101. 10 6 WILHELM JORDAN 101,10 7 PHILIPP LUDWIG VON SEIDEL 103.
10 8 JOSEPH LOUIS DE LAGRANGE 104,10 9 THOMAS SIMPSON 104. 10 10 ROGER COTES 105,10 11 LEWIS FRY RICHARDSON 106. 10 12 WERNER ROMBERG 106,10 13 ADRIEN MARIE LEGENDRE 107. 10 14 LEONHARD EULER 108,10 15 CARL RUNGE 109,10 16 MARTIN WILHELM KUTTA 110. 10 17 KARL HEUN 110,10 18 JOHN CHARLES BUTCHER 111.
10 19 JOHN COUCH ADAMS 111,10 20 FRANCIS BASHFORTH 112. 10 21 MELVILLE LOUIS MILNE THOMSON 113,11 AP NDICE 2 F RMULAS RESALTANTES 114. C lculo Num rico Luis Castellanos,Tabla de Gr ficos. Gr fico 1 Exactitud y Precisi n 2, Gr fico 2 Funci n exp x x Generado en http fooplot com 8. Gr fico 3 M todo de Bisecci n 9,Gr fico 4 M todo de la Regla Falsa 11.
Gr fico 5 M todo de Newton Raphson 17,Gr fico 6 M todo de la Secante 18. Gr fico 7 Regresi n Lineal 33, Gr fico 8 Resultado de la Regresi n Lineal Generado con MS Excel 37. Gr fico 9 Regresi n Polinomial 37,Gr fico 10 Interpolaci n Lineal 41. Gr fico 11 Interpolaci n Polinomial 43,Gr fico 12 Interpolaci n de Lagrange 44. Gr fico 13 Interpolaci n C bica Segmentaria Spline 47. Gr fico 14 Regla del Trapecio 50,Gr fico 15 Regla de Simpson 1 3 y 3 8 51.
Gr fico 16 Cuadratura Gaussiana 63,C lculo Num rico Luis Castellanos. Tabla de Cuadros,Tabla 1 Comparaci n de Error Relativo 5. Tabla 2 ex con Series de Taylor para x 0 5 6,Tabla 3 Valores de x y para graficar f x e x x 7. Tabla 4 Resultados del M todo de Bisecci n para hallar la ra z de la ecuaci n f x e x x 10. Tabla 5 M todo de Regla Falsa para hallar la ra z de la ecuaci n f x e x x 12. Tabla 6 Comparaci n de resultados de los M todos que usan intervalos 12. Tabla 7 M todo de Punto Fijo para hallar la ra z de la ecuaci n f x x2 2x 3 16. Tabla 8 M todo de Newton Raphson para hallar la ra z de la ecuaci n f x e x x 18. Tabla 9 M todo de la Secante para hallar la ra z de la ecuaci n f x e x x 19. Tabla 10 Comparaci n de resultados de M todos con intervalos y M todos abiertos 20. Tabla 11 M todo de Newton Raphson Modificado para evaluar f x x3 5 x2 7x 3 20. Tabla 12 Valores x y para aplicar Regresi n Lineal 36. Tabla 13 Datos ampliados para calcular Regresi n Lineal 36. Tabla 14 Valores x y para aplicar Regresi n Polinomial 39. Tabla 15 Datos ampliados para calcular Regresi n Polinomial 40. Tabla 16 Datos x y para Interpolaci n segmentaria de 1er orden 46. Tabla 17 Comparaci n de Resultados usando Newton Cotes 55. Tabla 18 Datos para aplicar Extrapolaci n de Richardson 58. Tabla 19 Resultados de la Integraci n de Romberg Ejemplo 1 61. Tabla 20 Resultados de la Integraci n de Romberg Ejemplo 2 63. Tabla 21 Resultados M todo de Euler 70, Tabla 22 Comparaci n de resultados de M todos de RK de 2do orden 76. Tabla 23 Resultados de aplicaci n de M todo RK de 3er Orden 78. Tabla 24 Resultados de aplicaci n de M todo RK de 4to Orden 79. Tabla 25 Resultados de aplicaci n de M todo RK de 5to Orden 81. Tabla 26 Resultado del Sistema de Ecuaciones Diferenciales empleando M todo de Euler 82. Tabla 27 Resultado del Sistema de Ecuaciones Diferenciales empleando M todo de RK de 4to. Tabla 28 Predictor inicial y Corrector en M todo de Heun sin principio 84. Tabla 29 Predictor y Corrector en M todo de Heun sin principio 85. Tabla 30 Resultados M todo de Heun sin principio 86. Tabla 31 Coeficientes y errores en los predictores de Adams Bashforth 88. Tabla 32 Coeficientes y errores en los predictores de Adams Moulton 89. Tabla 33 Resultados de aplicar el M todo de Milne 91. C lculo Num rico Luis Castellanos,1 Introducci n, Los m todos num ricos ofrecen soluciones aproximadas muy cercanas a las.
soluciones exactas,La discrepancia entre una,soluci n verdadera y una. aproximada representa un error,En la pr ctica profesional los. errores pueden resultar costosos,y en algunas ocasiones. catastr ficos,Por ello los errores se deben,Identificar. Cuantificar, C lculo Num rico es una materia de C lculo o Matem ticas Aplicada que.
muestra c mo a trav s de f rmulas e iteraciones podemos obtener. resultados bastante aproximados para diversos problemas que se pueden. Se deben tener conocimientos de C lculo Matem tico Series Algebra Lineal. Aritm tica y Trigonometr a entre otras cosas, La presente gu a es mayormente un resumen del texto de M todos. Num ricos para Ingenieros de los autores Chapra y Canale. 2 Conceptos B sicos Error,2 1 Algunos conceptos b sicos. Precisi n qu tan cercanos se encuentran los valores unos de otros. Imprecisi n esparcimiento de las mediciones, Exactitud aproximaci n de un n mero o de una medida al valor. Inexactitud alejamiento sistem tico de la realidad. Inexacto e Impreciso Exacto e Impreciso,Inexacto y Preciso Exacto y Preciso. Gr fico 1 Exactitud y Precisi n,2 2 Tipos de Errores.
Error por Truncamiento, o Diferencia entre una formulaci n matem tica exacta de un. problema y la aproximaci n dada por un m todo num rico. C lculo Num rico Luis Castellanos,Error por Redondeo. o Resulta del uso de cantidades con un n mero finito de d gitos. o El ltimo d gito que se conserva aumenta en 1 si el primer d gito. que se descarta es mayor o igual a 5, o Si es menor a 5 el ltimo digito que se conserva permanece con. el mismo valor,Error Num rico Total,Error por equivocaci n. Error de formulaci n,Error por incertidumbre en los datos.
Tomemos el valor de pi 3 141 592 653 589 793,Por truncamiento Por redondeo. 3 1415 3 1416,2 3 Cifras Significativas, N mero de d gitos que se pueden usar con confianza Incluyen enteros y. a 2 2 1 768 2 cifras significativas,2 2 1 768 0 432 0 4. b 0 0642 x 4 8 3 cifras significativas,0 0642 x 4 8 0 30816 0 31. C lculo Num rico Luis Castellanos,c 945 0 3185 4 cifras significativas.
945 0 3185 2 967 032 967 2967,2 4 F rmulas para el c lculo de errores. En la introducci n se mencion que la discrepancia entre una soluci n. verdadera y una aproximada representa un error,El Error Verdadero ET viene dado por. ET Valor Verdadero Valor Aproximado,El Error Relativo Porcentual EV se obtiene. ValorVerda dero ValorAproximado,ValorVerda dero, El Error normalizado a un valor aproximado se obtiene. ErrorAproximado,ValorAproximado, En ciertos m todos num ricos se usan esquemas iterativos para calcular.
resultados y se hace la aproximaci n en base a la aproximaci n anterior. para calcular m s y mejores aproximaciones,Aproximaci nActual Aproximaci n Pr evia. Aproximaci nActual, En esta ltima normalmente se repite hasta que su valor absoluto sea. menor que una tolerancia prefijada ES donde,C lculo Num rico Luis Castellanos. ES 0 5x10 2 n 1, Quedando entonces definido el criterio de aceptaci n. El resultado ser correcto en al menos n cifras significativas. a Se debe medir la longitud de un puente y de un remache. obteniendo 9 999 y 9 cms respectivamente Si los valores reales. son 10 000 y 10 cm calcule para cada caso el Error Verdadero y. el Error Relativo Porcentual,Puente Remache,ET 10 000 9 999 ET 10 9.
ET 1 cm ET 1 cm,EV x100 EV x100,EV 0 01 EV 10,Tabla 1 Comparaci n de Error Relativo. b Calcule la funci n exponencial eX empleando la expansi n de. Maclaurin para Series de Taylor para x 0 5 agregando t rminos. hasta que Ea ES con tres 3 cifras significativas,Se halla el valor real de e0 5 1 648 721 271. Scarborough 1966,C lculo Num rico Luis Castellanos. Sea la Serie de Taylor,Se halla el error de tolerancia ES 0 5x102 3. ES 0 5x10 1 ES 0 05, Aplicando las f rmulas correspondientes se arma la tabla.
T rmino f x Sumatoria f x Ev Ea,1 1 1 39 34693403,2 0 5 1 5 9 020401043 33 33333333. 3 0 125 1 625 1 438767797 7 692307692,4 0 020833333 1 645833333 0 175162256 1 265822785. 5 0 002604167 1 6484375 0 017211563 0 157977883,6 0 000260417 1 648697917 0 001416494 0 015795293. x 1 648697917 con un error del 0 015795293,Tabla 2 ex con Series de Taylor para x 0 5. 2 5 Ejercicios,a Redondee a tres 3 cifras significativas.
a1 8 755 a 3 4 225 000 2,a 2 0 999500 a 4 5 555 x 103. b Efect e las siguientes operaciones y emplee las cifras significativas. necesarias,b1 5 068 2 4 b 3 8 38x105 6 90 x 10 3,b 2 4 68x106 8 2 x 102 B 4 2 06 x 111 888. c Use la Serie de Taylor expansi n Maclaurin para estimar e X con x 1. y x 1 5 con tres cifras significativas,C lculo Num rico Luis Castellanos. 3 M todos que usan intervalos, Son m todos que necesitan dos valores iniciales de la ra z 2 para reducir. sistem ticamente el tama o del intervalo y as converger a la respuesta. 3 1 M todo Gr fico, Se grafica la funci n y se observa d nde cruza o corta al eje X Ese.
punto proporciona una aproximaci n inicial de la ra z. Obtenga gr ficamente la ra z de la ecuaci n f x e x x. Primero se seleccionan valores inicial y final del intervalo que se va a. Tabla 3 Valores de x y para graficar f x e x, Y luego se grafican los puntos en el eje cartesiano. Ra z valor de x f x 0 Es decir valor de x que hace que la funci n sea cero 0. C lculo Num rico Luis Castellanos, Gr fico 2 Funci n exp x x Generado en http fooplot com. Gr ficamente se puede observar que el valor donde la curva intersecta el. eje X est alrededor de 0 57 Entonces la ra z ser x 0 57. Los m todos gr ficos tienen un valor limitado ya que no son precisos. Pero son tiles para obtener aproximaciones a la ra z. Los valores obtenidos pueden ser usados como valores iniciales en otros. m todos num ricos,3 2 M todo de Bisecci n, O corte Binario es un m todo de b squeda incremental donde el. intervalo se divide siempre en dos Si la funci n cambia de signo sobre un. intervalo se eval a el valor de la funci n en el punto medio. La posici n de la ra z se determina situ ndola en el punto medio del. subintervalo dentro del cual ocurre el cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximaci n. C lculo Num rico Luis Castellanos,Es muy parecido a cuando buscamos una. palabra en el diccionario Abrimos el,diccionario y evaluamos si la palabra estar.
en las hojas que tenemos en la mano,izquierda o en la mano derecha Depende de. esa evaluaci n usamos el intervalo donde, se supone que est la palabra y abrimos de nuevo Y as hasta que. encontremos la palabra que buscamos,Algoritmo del M todo de Bisecci n. Gr fico 3 M todo de Bisecci n, 1 Escoger valores iniciales X1 y Xu de tal manera que la funci n cambie. de signo sobre el intervalo, 2 Se halla el valor real al trabajar con errores de tolerancia.
3 La primera aproximaci n se determina con la f rmula. C lculo Num rico Luis Castellanos,4 Se eval a el producto de f X1 xf Xr. Si f X1 x f Xr 0 la ra z est en el 1er subintervalo Xu Xr. Si f X1 x f Xr 0 la ra z est en el 2do subintervalo X1 Xr. Si f X1 x f Xr 0 la ra z es Xr Fin, 5 Se determina el error verdadero y el error acumulado ste luego de la. 2da iteraci n, 6 Se eval a el error acumulado Si es menor o igual al error de tolerancia. Fin Si es mayor volver al paso 3, Use el m todo de bisecci n para hallar la ra z de la ecuaci n f x e x x. El valor real es de 0 567 143 29, Tome un valor inicial de 0 y un valor final de 1 Considere un error de tres.
3 cifras significativas, Iteraci n x1 xu xr f x1 f xu f xr f x1 f xr Condici n Ev Ea. 1 0 1 0 5 1 0 6321 0 10653 0 10653 0 11 8389, 2 0 5 1 0 75 0 10653 0 6321 0 2776 0 0296 0 32 242 33 3333. 3 0 5 0 75 0 625 0 10653 0 2776 0 0897 0 0096 0 10 201 20. 4 0 5 0 625 0 5625 0 10653 0 0897 0 00728 0 00078 0 0 81872 11 1111. 5 0 5625 0 625 0 59375 0 00728 0 0897 0 0415 0 0003 0 4 6914 5 26316. 6 0 5625 0 59375 0 57813 0 00728 0 0415 0 0172 0 0001 0 1 9363 2 7027. 7 0 5625 0 57813 0 57031 0 00728 0 0172 0 005 4E 05 0 0 5588 1 36986. C lculo Num rico 7 Luis Castellanos 3 x

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