APOSTILA DE C LCULO NUM RICO Univap

Apostila De C Lculo Num Rico Univap-Free PDF

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1 1 Introdu o,1 1 1 Modelagem e Resolu o, A utiliza o de simuladores num ricos para determina o da solu o de um problema. requer a execu o da seguinte seq ncia de etapas,Etapa 1 Definir o problema real a ser resolvido. Etapa 2 Observar fen menos levantar efeitos dominantes e fazer refer ncia a. conhecimentos pr vios f sicos e matem ticos,Etapa 3 Criar modelo matem tico. Etapa 4 Resolver o problema matem tico, Modelagem Fase de obten o de um modelo matem tico que descreve um problema. f sico em quest o, Resolu o Fase de obten o da solu o do modelo matem tico atrav s da obten o da.
solu o anal tica ou num rica,1 1 2 C lculo Num rico. O c lculo num rico compreende, A an lise dos processos que resolvem problemas matem ticos por meio de opera es. aritm ticas, O desenvolvimento de uma seq ncia de opera es aritm ticas que levem s. respostas num ricas desejadas Desenvolvimento de algoritmos. O uso de computadores para obten o das respostas num ricas o que implica em. escrever o m todo num rico como um programa de computador. Espera se com isso obter respostas confi veis para problemas matem ticos No entanto. n o raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se esperaria obter. 1 1 3 Fontes de erros, Suponha que voc est diante do seguinte problema voc est em cima de um edif cio. que n o sabe a altura mas precisa determin la Tudo que tem em m os uma bola de. metal e um cron metro O que fazer,Conhecemos tamb m a equa o.
s a posi o final,s0 a posi o inicial,v0 a velocidade inicial. t o tempo percorrido,g a acelera o gravitacional, A bolinha foi solta do topo do edif cio e marcou se no cron metro que ela levou 2. segundos para atingir o solo Com isso podemos conclui a partir da equa o acima que a. altura do edif cio de 19 6 metros,Essa resposta confi vel Onde est o os erros. Erros de modelagem,Resist ncia do ar,Velocidade do vento. Forma do objeto etc, Estes erros est o associados em geral simplifica o do modelo matem tico.
Erros de resolu o,Precis o dos dados de entrada, Ex Precis o na leitura do cron metro p t 2 3 segundos h 25 92 metros gravidade. Forma como os dados s o armazenados,Opera es num ricas efetuadas. Erro de truncamento troca de uma s rie infinita por uma s rie finita. 1 2 Representa o num rica, Calcular a rea de uma circunfer ncia de raio 100 metros. a 31140 m2,b 31416 m2,c 31415 92654 m2,Calcular S 1. xi para xi 0 5 e para xi 0 11,S para xi 0 5 S para xi 0 11.
Calculadora 15000 3300,Computador 15000 3299 99691. Por que das diferen as, No caso do Exemplo 1 foram admitidos tr s valores diferentes para o n mero. c 3 141592654, Depend ncia da aproxima o escolhida para Aumentando se o n mero de d gitos. aumentamos a precis o Nunca conseguiremos um valor exato. No caso do Exemplo 2 as diferen as podem ter ocorrido em fun o da base utilizada da. forma como os n meros s o armazenados ou em virtude dos erros cometidos nas. opera es aritm ticas, O conjunto dos n meros represent veis em qualquer m quina finito e portanto. discreto ou seja n o poss vel representar em uma m quina todos os n meros de um. dado intervalo a b A representa o de um n mero depende da BASE escolhida e do. n mero m ximo de d gitos usados na sua representa o. Qual a base utilizada no nosso dia a dia, Base decimal Utiliza se os algarismos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9.
Existem outras bases 8 base octal 12 60 por m a base utilizada pela maioria dos. computadores a base bin ria onde se utiliza os algarismos 0 e 1. Os computadores recebem a informa o num rica na base decimal fazem a convers o. para sua base a base bin ria e fazem nova convers o para exibir os resultados na base. decimal para o usu rio,Exemplos 100110 2 38 10,11001 2 25 10. 1 2 1 Representa o de um n mero inteiro, Em princ pio representa o de um n mero inteiro no computador n o apresenta qualquer. dificuldade Qualquer computador trabalha internamente com uma base fixa onde. um inteiro 2 e escolhido como uma pot ncia de 2, Assim dado um n mero inteiro x 0 ele possui uma nica representa o. x d n d n 1 d 2 d1d 0 d n n d n 1 n 1 d1 1 d 0 0, onde d i um d gito da base em quest o no caso de uma base bin ria d n 1 e d n 1 d 0. s o iguais a 1 ou 0 que s o os d gitos da base bin ria. a Como seria a representa o do n mero 1100 numa base 2. 1100 2 1 2 3 1 2 2 0 21 0 2 0,Portanto 1100 2 1100 2.
b Como seria a representa o do n mero 1997 em uma base 10. 1997 1 10 3 9 10 2 9 101 7 10 0,Logo 1997 1997 10,1 2 2 Representa o de um n mero real. Se o n mero real x tem parte inteira xi sua parte fracion ria xf x xi pode ser escrita. como uma soma de fra es bin rias,x f bn bn 1 b2 b1b0 b1 1 b2 2 d n 1 n 1 d n n. Assim o n mero real ser representado juntando as partes inteiras e fracion rias ou seja. onde x possui n 1 algarismos na parte inteira e m 1 algarismos na parte fracion ria. a Como seria a representa o do n mero 39 28 em uma base decimal. 39 28 10 3 101 9 100 2 10 1 8 10 2,39 28 10 39 28 10. b Como seria a representa o do n mero 14 375 10 2 em uma base bin ria. 14 375 10 1110 011 2, Precisamos saber fazer a convers o de bases que o t pico seguinte. 1 3 Convers o entre as bases, Conforme dito anteriormente a maioria dos computadores trabalha na base onde.
um inteiro 2 normalmente escolhido como uma pot ncia de 2. 1 3 1 Bin ria para Decimal,a 1101 2 1 2 3 1 2 2 0 21 1 2 0 8 4 0 1 13 10. b 11001 2 1 2 4 1 23 0 2 2 0 21 1 2 0 16 8 0 0 1 25 10. 1 3 2 Decimal para Bin ria, Na convers o de um n mero escrito em base decimal para uma base bin ria s o. utilizados o m todo das divis es sucessivas para a parte inteira e o m todo das. multiplica es sucessivas para convers o da parte fracion ria do n mero em quest o. M todo das divis es sucessivas parte inteira do n mero. a Divide se o n mero inteiro por 2,b Divide se por 2 o quociente da divis o anterior. c Repete se o processo at o ltimo quociente ser igual a 1. O n mero bin rio ent o formado pela concatena o do ltimo quociente com os restos. das divis es lidos em sentido inverso, M todo das multiplica es sucessivas parte fracion ria do n mero. a Multiplica se o n mero fracion rio por 2, b Do resultado a parte inteira ser o primeiro d gito do n mero na base bin ria e a parte.
fracion ria novamente multiplicada por 2, c O processo repetido at que a parte fracion ria do ltimo produto seja igual a zero. Quociente Resto,Resultado 13 10 1101 2,Quociente Resto. Resultado 25 10 11001 2,c 0 375 10 2,0 375 0 750 0 500. 0 750 1 500 1 000,0 375 10 0 011 2,c 13 25 10 2, Converte se inicialmente a parte inteira do n mero. Quociente Resto,em seguida converte se a parte fracion ria.
0 25 10 0 01 2,Resultado 13 25 10 1101 01 2, Aten o Nem todo n mero real na base decimal possui uma representa o finita na base. bin ria Tente fazer a convers o de 0 1 10 Esta situa o ilustra bem o caso de erro de. arredondamento nos dados,1 3 3 Exerc cios Propostos. Fa a as convers es indicadas abaixo,a 100110 2 10,b 1100101 2 10. c 40 28 10 2,d 110 01 2 10,e 3 8 10 2, 1 4 Arrredondamento e aritm tica de ponto flutuante. Um n mero representado internamente num computador ou m quina de calcular. atrav s de uma seq ncia de impulsos el tricos que indicam dois estados 0 ou 1 ou seja. os n meros s o representados na base bin ria, De uma maneira geral um n mero x representado na base por.
x 1 22 33 tt e, d i s o n meros inteiros contidos no intervalo 0 d i 1 i 1 2 t. e representa o expoente de e assume valores entre I e S onde. I S s o respectivamente limite inferior e superior para a varia o do expoente. d1 d 2 d 3 dt, 2 3 t a chamada mantissa e a parte do n mero que representa. seus d gitos significativos e t o n mero de d gitos significativos do sistema de. representa o comumente chamado de precis o da m quina. Um n mero real x no sistema de aritm tica de ponto flutuante pode ser escrito tamb m. x 0 d1d 2 d 3 d t e, com d 1 0 pois o primeiro algarismo significativo de x. a Escrever os n meros reais x1 0 35 x 2 5 172 x 2 0 0123 x 4 0 0003. e x5 5391 3 onde est o todos na base 10 em nota o de um sistema de aritm tica de. ponto flutuante,0 35 3 10 1 5 10 2 x100 0 35 100,5 172 5 10 1 1 10 2 7 10 3 2 10 4 101 0 5172 101. 0 0123 1 10 1 2 10 2 3 10 3 10 1 0 123 10 1, 5391 3 5 10 1 3 10 2 9 10 3 1 10 4 3 10 5 10 4 0 53913 10 4.
0 0003 3 10 1 10 3 0 3 10 3, b Considerando agora que estamos diante de uma m quina que utilize apenas tr s d gitos. significativos e que tenha como limite inferior e superior para o expoente. respectivamente 2 e 2 como seriam representados nesta m quina os n meros do. Solu o Temos ent o para esta m quina t 3 I 2 e S 2 Desta forma. 2 e 2 Sendo assim temos,0 35 0 350 10 0,5 172 0 517 101. 0 0123 0 123 10 1, 5391 3 0 53913 10 4 N o pode ser representado por esta m quina Erro de overflow. 0 0003 0 3 10 3 N o pode ser representado por esta m quina Erro de underflow. Um erro de overflow ocorre quando o n mero muito grande para ser representado j. um erro de underflow ocorre na condi o contr ria ou seja quando um n mero. pequeno demais para ser representado, c Numa m quina de calcular cujo sistema de representa o utilizado de base bin ria. considerando que a m quina tenha capacidade para armazenar um n mero com dez. d gitos significativos com limites inferior e superior para o expoente de 15 e 15. respectivamente Como que representado o n mero 25 10 neste sistema. 1 5 1 Erros absoluto relativo e percentual, Erro absoluto Diferen a entre o valor exato de um n mero x e seu valor aproximado x.
obtido a partir de um procedimento num rico, Em geral apenas x conhecido e o que se faz assumir um limitante superior ou uma. estimativa para o m dulo do erro absoluto, a Sabendo se que 3 14 3 15 tomaremos para um valor dentro deste intervalo e. teremos ent o E a x 0 01, b Seja x representado por x 2112 9 de forma que E a x 0 1 podemos dizer que. x 2112 8 2113 0, c Seja y representado por y 5 3 de forma que E a y 0 1 podemos dizer que. Temos que os valores para os respectivos erros absolutos nas letras b e c foram id nticos. Podemos afirmar que os valores de x e y foram representados com a mesma precis o. O erro absoluto n o suficiente para descrever a precis o de um c lculo Da a maior. utiliza o do conceito de erro relativo, Erro relativo Erro absoluto dividido pelo valor aproximado.
Erro percentual o erro relativo em termos percentuais ou seja. E px Erx 100, a Seja x representado por x 2112 9 de forma que E a x 0 1 podemos dizer que. x 2112 8 2113 0,E rx 4 7 10 5,E p x 4 7 10 5 100 0 0047. b Seja y representado por y 5 3 de forma que E a y 0 1 podemos dizer que. E p y 0 02 100 2, Para valores pr ximos de 1 os erros absoluto e relativo t m valores muito pr ximos. Entretanto para valores afastados de 1 podem ocorrer grandes diferen as e se deve. escolher um crit rio adequado para podermos avaliar se o erro que est sendo cometido. grande ou pequeno,1 5 2 Exerc cios Propostos, 1 Suponha que tenhamos um valor aproximado de 0 00004 para um valor exato de. 0 00005 Calcular os erros absoluto relativo e percentual para este caso. 2 Suponha que tenhamos um valor aproximado de 100000 para um valor exato de. 101000 Calcular os erros absoluto relativo e percentual para este caso. 3 Considerando os dois casos acima onde se obteve uma aproxima o com maior. precis o Justifique sua resposta,1 5 3 Erro de arredondamento e truncamento.
Dar a representa o dos n meros a seguir num sistema de aritm tica de ponto flutuante. de tr s d gitos para 10 I 4 e S 4,x Representa o por Representa o por. arredondamento truncamento,1 25 0 125x10 0 125x10,10 053 0 101x102 0 100x102. 238 15 0 238x103 0 238x103,2 71828 0 272x10 0 271 10. 0 000007 Exp 4 underflow Exp 4 underflow,718235 82 Exp 4 overflow Exp 4 overflow. Quando se utiliza o arredondamento os erros cometidos s o menores que no truncamento. no entanto o arredondamento requer um maior tempo de execu o e por esta raz o o. truncamento mais utilizado A demonstra o de que no arredondamento incorremos em. erros menores que no truncamento pode ser encontrada no livro de C lculo Num rico da. M rcia Ruggiero e Vera Lopes,1 5 4 Propaga o de erros.
Ser mostrado um exemplo que ilustra como os erros descritos anteriormente podem. influenciar no desenvolvimento de um c lculo, Suponhamos que as opera es indicadas nos itens a e b sejam processadas numa. m quina com 4 d gitos significativos,a x 2 x1 x1,b x 2 x1 x1. Fazendo x1 0 3491 10 4 e x2 0 2345 100 temos,a x 2 x1 x1 0 2345 10 0 0 3491 10 4 0 3491 10 4. 0 3491 10 4 0 3491 10 4,b x 2 x1 x1 0 2345 10 0 0 3491 10 4 0 3491 10 4. 0 2345 10 0 0 0000, A causa da diferen a nas opera es anteriores foi um arredondamento que foi feito na.
adi o x 2 x1 do item a cujo resultado tem oito d gitos Como a m quina s. armazena 4 d gitos os menos significativos foram desprezados. Ao se utilizar uma m quina de calcular deve se est atento a essas particularidades. causadas pelo erro de arredondamento n o s na adi o mas tamb m nas demais. 2 ZEROS DE FUN ES,2 1 Caracteriza o Matem tica,Conhecida uma fun o f x. Determinar o valor x tal que f x 0, Denomina se x de zero da fun o f x ou raiz da equa o f x 0. Solu o anal tica,o Equa es alg bricas polinomiais do 1 e 2 graus. o Certos formatos de equa es alg bricas do 3 e 4 graus. o Algumas equa es transcendentais n o polinomiais,. 1 1 2 C lculo Num rico O c lculo num rico compreende A an lise dos processos que resolvem problemas matem ticos por meio de opera es aritm ticas

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