Analisi Matematica I polito it

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Capitolo 1,Insiemi di numeri,1 1 Naturali interi razionali. I numeri sono cos pervasivi del nostro mondo da far si che se ne cominci a. fare conoscenza nei primi anni di vita e se ne continui a fare un uso via via piu. approfondito nella vita quotidiana e nel percorso scolastico fino alle scuole. superiori Resta tuttavia indispensabile per gli studenti che hanno deciso di. intraprendere studi universitari di carattere scientifico o tecnico ritornarci di. nuovo sopra nei corsi matematici di base L esigenza nasce dalla necessita. di fare alcuni chiarimenti su alcuni aspetti delicati e profondi dei numeri che. giocano poi un ruolo fondamentale in tutta quanta la matematica Non si. tratta tanto di questioni fondazionali sul concetto di numero che in questa. sede non verranno affrontate quanto di questioni concrete da tenere ben. presenti da chiunque voglia utilizzare lo strumento matematico con perizia e. I primi numeri che si incontrano sono gli interi positivi detti anche numeri. naturali 1 2 3 L insieme dei numeri naturali si indica con il simbolo N. Sono i numeri che servono a contare e che hanno fatto la prima comparsa. nelle societa umane svariate migliaia di anni fa Per fare misure di quantita. fisiche come lunghezze aree tempi temperature ecc e tuttavia necessario. poter disporre di sottoparti dell unita e considerare quindi numeri frazionari. m n dove m n N con n 6 0 E poi conveniente anche introdurre i numeri. con il segno per poter trattare grandezze negative come possono essere la. temperatura la velocita e molte altre grandezze fisiche Si ottengono cos i. 4 CAPITOLO 1 INSIEMI DI NUMERI,seguenti insiemi numerici. Z 0 1 2 numeri interi relativi,m n Z n 6 0 numeri razionali. Si hanno le evidenti inclusioni N Z Q Talvolta e anche utile considerare. gli insiemi,Z m Z m 0 numeri interi non negativi,Q q Q q 0 numeri razionali non negativi. 1 2 Perche servono altri numeri, I numeri fin qui introdotti sono suscettibili di una semplice interpretazione.
geometrica Su di una retta r fissiamo un punto che indicheremo con 0 ed un. altro punto a destra di 0 denominato 1 Usando come unita di lunghezza. quella del segmento da 0 a 1 ed i due versi possibili a destra e a sinistra. di 0 si possono cos facilmente rappresentare sulla retta r i numeri interi. relativi come mostrato nella seguente figura,3 2 1 0 1 2 3. Dato invece un razionale m n esso puo sempre venire espresso tramite una. semplice divisione come m n q m0 n dove q Z e 0 m0 n Il. modo di rappresentare m n sulla retta r diviene ora operativamente chiaro. scegliamo il segmento da q a q 1 dividiamolo in n parti uguali e consideriamo. il punto ottenuto partendo da q spostandosi di m0 segmentini di lunghezza. 1 n nella direzione di q 1 Otterremo ovviamente in questo modo un numero. compreso tra q e q 1 Ad esempio 7 3 2 1 3 e rappresentato nella figura. Ogni numero razionale e cos univocamente rappresentato da un punto. sulla retta Sara vera la cosa contraria In realta il problema non e ben pos. to in quanto non abbiamo dato una definizione esatta di retta Affidiamoci. tuttavia alla nostra intuizione di retta come un continuo di punti allineati. 1 2 PERCHE SERVONO ALTRI NUMERI 5,0 1 2 7 3 3, intendendo per continuo il fatto che non ci siano buchi nella retta Costru. iamo ora sul segmento da 0 a 1 un quadrato poi con un compasso facciamo. centro in 0 apriamo con raggio determinato dal vertice del quadrato opposto. a 0 e tracciamo un arco di circonferenza fino ad incontrare la retta r in un. certo punto P Che numero rappresenta P, Considerato che il numero associato ad un punto della retta puo essere pen. sato come la lunghezza con eventuale segno del segmento dal punto all o. 0 risulta chiaro che P deve rappresentare il numero 2 Ma chi e. 2 Puo essere rappresentato come frazione La risposta e nota da almeno. due millenni ma vale la pena ricordarla nella proposizione sotto dove ne. presentiamo anche la classica elegante dimostrazione. Proposizione 1 1 2 non e un numero razionale, Dimostrazione Supponiamo per assurdo che lo sia cioe che esistano naturali m n con. n 6 0 tali che 2 m n Ovviamente si puo ipotizzare che m e n siano primi tra loro. Elevando al quadrato si ottiene 2 m2 n2 o anche,2n2 m2 1 1.
Questo significa che m2 deve essere divisibile per 2 cioe deve essere un numero pari. questo implica pensate perche che m e un numero pari Quindi si puo scrivere m 2q. per qualche naturale q Sostituendo in 1 1 si ottiene cos. 2n2 4q 2 n2 2q 2 1 2,6 CAPITOLO 1 INSIEMI DI NUMERI. Quest ultima formula implica pero che n2 e di conseguenza n e un numero pari Quindi. sia m che n sono numeri pari e questo e assurdo per l ipotesi fatta che fossero primi tra. loro Ne consegue che 2 non puo essere razionale, Esercizio 1 1 Si mostri che 3 non e un numero razionale. Esercizio 1 2 Si mostri che x non e un numero razionale se x non e un. quadrato perfetto cioe se x non e del tipo x n2 per qualche n N. Esercizio 1 3 Si mostri che 2 non e un numero razionale. 1 3 I numeri reali, I punti della retta r sono quindi di piu dei numeri razionali Che tipo di. numeri servono per poter rappresentare tutti i punti della retta Sono i nu. meri reali che introdurremo attraverso le rappresentazioni decimali Fissiamo. prima alcune notazioni Sulla retta r vi e un ordinamento naturale se a e b. sono due punti di r scriveremo che a b se a sta a sinistra di b e a b se. a b o se a b Dati a e b di r con a b indicheremo con a b il segmento. dei punti tra a e b estremi inclusi mentre con il simbolo a b indicheremo lo. stesso segmento senza estremi Il segmento con uno soltanto dei due estremi. verra indicato rispettivamente con a b se contiene a con a b se contiene. b I sottoinsiemi della retta del tipo a b a b a b a b verranno anche. detti intervalli, Consideriamo ora un punto x 0 di r Chiaramente ci sara un intero. k0 0 tale che, Dividiamo ora l intervallo k0 k0 1 in dieci parti eguali.
k0 k 0 k0 k0 k0 k0 1,10 10 10 10,x dovra stare in uno di questi Supponiamo che. per un qualche k1 0 9,1 3 I NUMERI REALI 7,k k0 k1 10 k0 k1 1 10 k 1. Andiamo avanti cos dividendo a sua volta l intervallino k0 k101 k0 k110 1. in dieci parti che misurano quindi un centesimo di quello iniziale k0 k0 1. individuando quello in cui sta x,k1 k2 k1 k2 1,10 100 10 100. per un qualche k2 0 9 Continuando cos si determina una sequenza. infinita di numeri naturali k0 k1 k2 con k0 qualunque e tutti gli altri. compresi tra 0 e 9 che risultano collegati al punto x nel modo seguente. k1 k2 kn k1 k2 kn 1,10 100 10 10 100 10n,Introduciamo la notazione compatta. 10 100 10 i 0, Allora la diseguaglianza precedente puo essere riscritta come.
Si noti che xn e xn 1 10n sono entrambi numeri razionali che distano tra di. loro 1 10n Poiche x sta in mezzo vuol dire che entrambi hanno distanza da x. non superiore ad 1 10n piu precisamente xn approssima per difetto x a meno. di 1 10n mentre xn 1 10n approssima per eccesso sempre a meno di 1 10n. All aumentare di n essi si avvicinano quanto vogliamo al vero punto x Tale. punto x non coincide in generale con nessuno dei punti xn a meno che la. sequenza dei kn sia fatta da un certo punto in poi da tutti zeri diremo invece. che x e rappresentato dalla sequenza infinita detta allineamento decimale. k0 k1 k2 k3 kn, Diremo anche che quella sopra e la rappresentazione decimale di x Nel caso. invece in cui x 0 si considera il suo simmetrico x rispetto al punto 0 x. 8 CAPITOLO 1 INSIEMI DI NUMERI, ha una rappresentazione decimale k0 k1 k2 k3 kn La rappresentazione. decimale di x e allora convenzionalmente indicata come k0 k1 k2 k3 kn. Si noti che valgono le seguenti diseguaglianze,k1 k2 kn 1 k1 k2 kn. 10 100 10n 10 100 10,Useremo analogamente a prima la notazione. Per indicare la ripetizione infinita di una cifra o di un gruppo di cifre in una. rappresentazione decimale useremo una barretta sopra Ad esempio 0 8. 0 88888 0 123 0 1232323 Nel caso in cui a ripetersi sia la cifra. 0 essa verra in generale omessa scriveremo ad esempio 0 23170 0 2317. questi ultimi verranno detti allineamenti decimali finiti. Ad ogni punto della retta abbiamo cos univocamente associato un allinea. mento decimale Resta ora da vedere se questo ragionamento si puo invertire. cioe se ad ogni allineamento decimale k0 k1 k2 k3 kn corrisponda un. punto determinato della retta questo e in un certo senso il punto piu delica. to di tutta la storia Per simmetria basta farlo per gli allineamenti decimali. positivi Se un tale x esiste deve stare in tutti gli intervalli. k1 k1 1 k1 k2 k1 k2 1,k0 k0 1 k0 k0 k0 k0,10 10 10 100 10 100.
Poiche questi intervalli sono l uno incapsulato nell altro e la loro larghezza. diventa piccola quanto vogliamo sembra piuttosto evidente che esista un pun. to della retta ed uno soltanto che sta in tutti essi Questa evidenza non e. dimostrabile ma va ipotizzata come proprieta di continuita della retta a cui. facevamo cenno prima Quindi supponiamo che esista un punto x della retta. r che sta esattamente in tutti gli intervallini sopra L unica cosa che resta da. verificare e se effettivamente la rappresentazione decimale di x come definita. sopra sia proprio data da k0 k1 k2 k3 kn Per come si e introdotta la. rappresentazione decimale e chiaro che questo risulta vero se accade che x. sta dentro tutti gli intervallini semiaperti,k1 k1 1 k1 k2 k1 k2 1. k0 k0 1 k0 k0 k0 k0,10 10 10 100 10 100,1 3 I NUMERI REALI 9. Sfortunatamente questo potrebbe non essere vero come mostriamo ora con. un semplice esempio, Esempio 1 Consideriamo l allineamento decimale 0 9 Il punto x ad esso associ. ato deve stare in tutti gli intervalli, ed e chiaro che l unico punto con queste proprieta e 1 Tuttavia la rappre. sentazione decimale di 1 come definita inizialmente non e data da 0 9 ma da. L esempio sopra mostra come ci siano piu allineamenti decimali che punti. della retta 1 1 0 e 0 9 rappresentano lo stesso punto della retta 1 appun. to Questa ambiguita capita solo e soltanto per gli allineamenti decimali che. terminano con un numero infinito di 0 o di 9 Non e difficile rendersi conto. che i due allineamenti decimali,k0 k1 k2 k3 kn 9 k0 k1 k2 k3 kn 1.
rappresentano sempre lo stesso punto della retta E si puo dimostrare che. questi sono gli unici casi in cui si possono avere delle ambiguita Se ci re. stringiamo agli allineamenti decimali che non terminano con una coda infinita. di 9 allora vi e una perfetta corrispondenza biunivoca tra punti della retta. e allineamenti decimali Questo sottoinsieme di allineamenti decimali sara. detto l insieme dei numeri reali e sara indicato con il simbolo R Terremo. sempre presente la corrispondenza con i punti della retta e parleremo infat. ti spesso di retta reale Con R indicheremo invece la semiretta destra dei. numeri reali non negativi, Osservazione Per come e stato costruito R contiene i numeri razionali e dunque. anche gli altri insiemi numerici fin qui introdotti A che tipo di allineamenti. decimali corrispondono i numeri razionali Si noti intanto che gli allineamenti. decimali finiti sono sicuramente razionali in effetti se x k0 k1 k2 km si ha. X ki 10m i ki, e quindi x e un numero razionale esprimibile per mezzo di una frazione con denom. inatore una potenza di 10 E facile vedere che tutti i numeri razionali di questo. 10 CAPITOLO 1 INSIEMI DI NUMERI, tipo hanno effettivamente un allineamento decimale finito Che si puo dire degli. altri razionali Se anziche allineamenti finiti aventi cioe una coda infinita di 0. consideriamo allineamenti decimali che hanno una coda costituita dalla ripetizione. infinita di un gruppo di cifre otteniamo ancora numeri razionali In effetti si ha. ad esempio, Questo fatto non dovrebbe esservi nuovo e dovreste sapere come operativamente. passare in generale dall allineamento decimale con coda periodica alla corrispon. dente frazione ci torneremo comunque piu avanti Fatto interessante che noi. non dimostreremo e che la cosa si inverte la rappresentazione decimale di un. qualunque numero razionale ha sempre una coda periodica costituita cioe dalla. ripetizione infinita di un certo gruppo di cifre,1 4 Proprieta algebriche e di ordinamento.
Ci aspettiamo di poter definire la somma ed il prodotto di numeri reali in. modo che valgano le usuali proprieta algebriche come per i numeri razionali. Questo si puo in effetti fare anche se c e qualche dettaglio tecnico da superare. Come si fa ad esempio a sommare due allineamenti decimali x k0 k1 k2. e y h0 h1 h2 Lo sappiamo sicuramente fare se sono entrambi finiti. ce lo hanno insegnato alle scuole elementari in tal caso in effetti possono. anche essere entrambi pensati come numeri razionali Con qualche accorg. imento l algoritmo delle elementari si adatta anche al caso in cui uno dei. due sia un allineamento decimale infinito ed uno invece finito Le cose si. fanno un po piu complicate quando invece sono entrambi infiniti Un idea. potrebbe essere considerare gli approssimanti finiti xn k0 k1 k2 kn e. yn h0 h1 h2 hn Essi sono per costruzione degli allineamenti decimali. finiti e possiamo quindi sommarli e considerare xn yn Possiamo pensare. questi come gli approssimanti decimali di x y Si noti che se x 0 1 e. y 0 8 allora,1 yn 0 8 z,8 xn yn 0 9 z, D altra parte non e difficile intuire che x y 0 9 1 Quindi l approssi. mante decimale di ordine n di x y non e dato da xn yn ma dal numero. Analisi Matematica I Fabio Fagnani Gabriele Grillo Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino Queste dispense contengono il materiale delle lezioni del corso di Analisi Matematica I rivolto agli studenti del primo anno di Ingegneria della III facolt a del Politecnico di Torino Sono pensate come il corso del resto per studenti in possesso di una cultura matematica quale e quella

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