LGEBRA POLINOMIOS UNAM

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APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS, El presente trabajo obviamente no pretende sustituir al tema. relacionado a los polinomios contenidos en publicaciones tan. prestigiadas relacionadas con las matem ticas, Surge de la necesidad de que el alumno de ingenier a puede. utilizarlo como una herramienta de apoyo para el estudio de la materia. de lgebra en el TEMA III denominado POLINOMIOS del programa. actual as como de materias afines, Cumple con el objetivo de dicho tema en lo referente al manejo. de los conceptos del lgebra de los polinomios y sus propiedades para. la obtenci n de ra ces, Por lo que si se quiere profundizar en el tema de polinomios. es necesario consultar bibliograf a especializada para tener una. informaci n m s amplia y con mayor profundidad que la que aqu se. presenta ya que solamente esto es una gu a,ATENTAMENTE.
Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez. APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS i,CONTENIDO GENERAL,1 INTRODUCCI N 1. 2 DEFINICI N 2,3 FUNCIONES POLINOMIALES,4 TEOREMAS 11. 5 GR FICA DE UN POLINOMIO 14,6 COEFICIENTES DEL POLINOMIO 18. 7 RA CES DE UN POLINOMIO 20,8 EJERCICIOS,9 BIBLIOGRAF A 45.
Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS ii. 1 INTRODUCCI N 1,2 DEFINICI N 2,2 1 CLASIFICACI N 2. 2 2 EL GRADO 3,3 FUNCIONES POLINOMIALES 3,3 1 POLINOMIOS DE UNA VARIABLE 4. 3 1 1 OPERACIONES ARITM TICAS 5,3 1 1 1 SUMA o ADICI N 5. 3 1 1 2 RESTA o SUSTRACCI N 6,3 1 1 3 MULTIPLICACI N o PRODUCTO 7.
3 1 1 4 DIVISI N o COCIENTE 7,4 TEOREMAS 11,4 1 TEOREMA DEL RESIDUO 11. 4 2 TEOREMA DEL FACTOR 12,4 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL LGEBRA 12. 5 GR FICA DE UN POLINOMIO 14,6 COEFICIENTES DEL POLINOMIO 18. 7 RA CES DE UN POLINOMIO 20,7 1 NATURALEZA DE LAS POSIBLES RA CES 20. 7 1 1 REGLA DE LOS SIGNOS DE DECARTES 21,7 1 2 RA CES RACIONALES 26.
8 EJERCICIOS 28,9 BIBLIOGRAF A 45,Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez. APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS,1 INTRODUCCI N, Los tipos m s simples de funci n se construyen mediante la aplicaci n repetida. de las operaciones elementales de potencias multiplicaci n divisi n adici n y. sustracci n Por ejemplo,2 x 4 3x 6 x 3,z 3z 3 z 4 2 5 z 2. A cada una de estas expresiones que son llamadas t rminos algebraicos. indican sumas y sustracci n de monomios las cuales forman polinomios Estas. expresiones algebraicas cuyos elementos est n separados por los signos o se. forman por constantes y variables como se indica a continuaci n. a Coeficientes num ricos,b Variables,x4 x6 x x0,z z 3 z 4 z 0 z 2. Los cuales al asociarse respectivamente se crean los siguientes monomios. 2 x 4 3x 6 x 3,z 3 z 3 z 4 2 5 z 2,Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez.
APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS,2 DEFINICI N, Un polinomio es la suma de uno o m s t rminos algebraicos cuyas variables. tienen exponentes enteros positivos Los polinomios se dividen en polinomios con una. variable y polinomios con varias variables Por ejemplo para el primer caso siendo x la. variable el polinomio es la suma de uno o m s t rminos que tienen la forma ax n donde. a es un n mero real y n es un n mero entero Las expresiones siguientes son. polinomios con una variable,3 5 7 4 8 3, Y para el segundo caso con x y y z como variables el polinomio es la suma. de uno o m s t rminos de la forma ax m y n z p donde a es un n mero real y m n y p. son n meros reales enteros Las siguientes expresiones son polinomios con m s de. una variable,5 x 2 y 2 yz 3 3 xy,u 2v 2 w2 x 3 y 3 1. 2 1 CLASIFICACI N, Un polinomio con un t rmino se llama monomio con dos t rminos se llama. binomio y el de tres t rminos se llama trinomio En la siguiente tabla se indica esta. clasificaci n,Monomios Binomios Trinomios,un t rmino dos t rminos tres t rminos.
2x 3 2x 4 5 2x3 4x 2 3,a 2b 17t 2 3 xy 3mn 4 m 2 n 2 7 n. 3x 3 y 5 z 2 32 x13 y 5 47 x 3 yz 12 x 5 y 2 13 x 4 y 3 7 x 3 y 3. Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS. 2 2 EL GRADO, El grado de un polinomio es la potencia entera positiva mayor de una variable. Por ejemplo, a 3 x 5 4 x 2 7 es un trinomio de grado 5 Porque el grado m ximo de los tres. monomios es 5,b 7 x 2 y 8 3 xy es un binomio de grado 10.
c 3 x 2 y xy es un trinomio de grado 2 y, d 18 x 2 y 3 12 x 7 y 2 3 x 9 y 3 3 es un polinomio de grado 12. Si los exponentes de la variable de un polinomio con una variable disminuyen al. ir de izquierda a derecha se dice que aparecen en orden descendente Si aumentan al. avanzar de izquierda a derecha se dice que aparecen en orden ascendente. Escribir los exponentes de 7 x 2 5 x 4 3 x 2 x 3 1 en. a Orden descendente y,b Orden ascendente,a 5 x 4 2 x 3 7 x 2 3 x 1. b 1 3 x 7 x 2 2 x 3 5 x 4,3 FUNCIONES POLINOMIALES. Para nombrar un polinomio se utiliza la expresi n del tipo P x Donde P. representa a la funci n polinomial la cual puede ser cualquier letra y x la. indeterminada correspondencia llamada variable del polinomio As se pueden escribir. los siguientes polinomios,P x 2 x 4 3x 6 x 1,Q y 4 y 3 2 y. R z z 3z 5 z 2 2 5 z,Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez.
APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS, Donde cada uno de los sumandos o monomios que forman a cada polinomio es. un t rmino del mismo A stas expresiones se les llama funciones polinomiales. Para evaluar una funci n polinomial en valores espec ficos de su variable por. ejemplo P x x 6 4 x 5 3 x 2 x 2 cuando x 1 sustituimos a x por el valor de 1 y. simplificamos,P x x 6 4 x 5 3x 2 x 2,P 1 1 6 4 1 5 3 1 2 1 2. P 1 1 4 3 1 2, Como se puede ver a cada n mero de x corresponde un s lo valor de P x. Si se aplican estas operaciones a una variable independiente x y a un conjunto. de n meros reales a1 a 2 a3 a n se obtiene el polinomio general expresado de la. siguiente manera,y a0 a1 x a 2 x 2 a n x n, El polinomio m s simple es la funci n lineal y ax b la cual se representa. gr ficamente por medio de una l nea recta Otro caso es el de la funci n. cuadr tica y ax 2 bx c que representa una par bola. 3 1 POLINOMIOS DE UNA VARIABLE, En t rminos generales la representaci n de un polinomio con s lo una variable.
es la siguiente, P x a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 2 x 2 a1 x1 ao x 0. Pero a1 x1 a1 x y a0 x 0 a0 1 a0 recordando que x 0 1 por lo tanto. P x a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 2 x 2 a1 x ao. Este polinomio es la suma de varios t rminos algebraicos cuyas variables tiene. exponentes enteros donde P x es la variable dependiente x es la variable. independiente a n a n 1 a n 2 a n 3 a 2 a1 a 0 son los n meros reales a0 es el t rmino. independiente y n es la potencia o exponente entero m ximo. Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS. 3 1 1 OPERACIONES ARITM TICAS, En esta parte se describen las cuatro operaciones b sicas que se pueden. realizar para dos o m s polinomios de una variable. 3 1 1 1 SUMA o ADICI N, P x a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 2 x 2 a1 x a0. y Q x bn x n bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b2 x 2 b1 x bo, Realizar la siguiente operaci n aritm tica P x Q x.
P x Q x a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a a x 2 a1 x a0. bn x bn 1 x,bn 2 x n 2,ba x b1 x b0, Al sumar y agrupar t rminos semejantes resulta lo siguiente. an bn x n an 1 bn 1 x n 1 an 2 bn 2 x n 2 a 2 b2 x 2 a1 b1 x a 0 b0. Esto da como resultado otro polinomio con una sola variable pero con diferente. valor en los coeficientes y el t rmino independiente. Sean los siguientes tres polinomios,P x 3x 4 2 x 2 x 2. Q x x 5 2 x 4 x 3 4 x 3,y R x 2 x 5 5 x 4 x 3 2 x 2 4 x 3. P x Q x R x,P x Q x R x, 3 x 4 2 x 2 x 2 x 5 2 x 4 x 3 4 x 3 2 x 5 5 x 4 x 3 2 x 2 4 x 3. Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS.
Al ordenar los polinomios en forma descendente resulta lo siguiente. 3x 4 2x 2 x 2,x5 2x 4 x3 4x 3,2 x 5 5x 4 x 3 2 x 2 4 x 3. cuya operaci n da como resultado,3x 5 6 x 4 x 2,Por lo que P x Q x R x 3 x 5 6 x 4 x 2. 3 1 1 2 RESTA o SUSTRACCI N, Con las dos expresiones de los polinomios P x y Q x del inciso 3 1 1 1 realizar. Que al ser sustituidos en la expresi n resulta lo siguiente. P x Q x a n x n a n 1 x n 1 a n 2 x n 2 a 2 x 2 a1 x a0. bn x bn 1 x,bn 2 x n 2,b2 x b1 x b0, Donde al restar y agrupar t rminos se obtiene lo siguiente. an bn x n an 1 bn 1 x n 1 an 2 bn 2 x n 2 a 2 b2 x 2 a1 b1 x a0 b0. Dando como resultado otro polinomio con una sola variable pero con diferente. valor en los coeficientes y el t rmino independiente. Sea P x 3 x 4 2 x 3 x 2 x 2 y Q x x 4 x 3 3 x 2 Obtener P x Q x. 3 x 4 2 x 3 x 2 x 2 x 4 x 3 3 x 2, 3x 4 x 4 2 x 3 x 3 x 2 x 3x 2 2 2 x 4 3x 3 x 2 4 x 4.
Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS. 3 1 1 3 MULTIPLICACI N o PRODUCTO, Sean P x a m x m a m 1 x m 1 a n 2 x n 2 a 2 x 2 a1 x a0. y Q x bn x n bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b2 x 2 b1 x bo Efectuar P x Q x. Sustituyendo en la expresi n resulta lo siguiente,a m x m a m 1 x m 1 a m 2 x m 2 a 2 x 2 a1 x a0. bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b2 x 2 b1 x b0, a m x m bn x n bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b2 x 2 b1 x b0. a m 1 x m 1 bn x n bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b2 x 2 b1 x b0. a m 2 x bn x bn 1 x bn 2 x b2 x b1 x b0 2, a 2 x 2 bn x n bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b2 x 2 b1 x b0.
a1 x bn x n bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b2 x 2 b1 x b0,a0 bn x n bn 1 x n 1 bn 2 x n 2 b2 x 2 b x b. Lo que da como resultado otro polinomio pero de grado m n siendo la primera. m el grado del primer polinomio y la siguiente n el grado del segundo polinomio. Sean P x 3 x 3 x 2 3 y Q x 2 x 2 2,Calcular P x Q x. P x Q x 3 x 3 x 2 3 2 x 2 2,3 x 3 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 3 2 x 2 2. 6x5 6x3 2x 4 2x 2 6x 2 6,6x 5 6x 3 2x 4 8x 2 6,3 1 1 4 DIVISI N o COCIENTE. Sean P x x 4 16 y Q x x 2 3 x 1 Efectuar la siguiente operaci n divisi n. Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS.
Para ello se realiza la divisi n algebraica ordinaria donde P x es el dividendo y. Q x el divisor Considerando que Q x su grado es menor o igual que el de P x La. siguiente ilustraci n indica el proceso de esta operaci n. x 2 3x 1 x 4 16,x 4 3x 2 x 2,3 x 3 x 2 16,3x 3 9 x 2 3x. 8 x 2 3 x 16,8 x 2 24 x 8,Por lo que,P x x 4 16 21x 24 21x 24. x 2 3 x 8 2 x 2 3 x 8 2,Q x x 2 3x 1 x 3x 1 x 3x 1. x 2 3 x 8 es el cociente y 21x 24 es el residuo,Esto indica que la divisi n es no exacta. Existe adem s de este m todo para dividir dos polinomios el M todo de la. Divisi n Sint tica el cual consiste en que el divisor es un polinomio de la forma x r. Por ejemplo dividir el polinomio P x 2 x 4 5 x 3 2 x 8 entre x 3 empleando el. procedimiento de divisi n sint tica, Escribir los coeficientes del dividendo y del divisor en el siguiente arreglo.
Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS. obs rvese que no debe omitirse el coeficiente cero de x 2. El proceso de operaci n se realiza de la siguiente manera bajar el primer. t rmino del dividendo, Multiplicar ste por 3 coloc ndolo debajo del siguiente coeficiente para. efectuar la adici n, Repetir el paso anterior ahora con el nuevo coeficiente obtenido. Se contin a con el proceso hasta que se hayan utilizado todos los coeficientes. obteniendo el siguiente resultado,3 6 3 9 33,2 1 3 11 25. Coeficientes del cociente residuo,Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez.
APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS, Como se est dividiendo un polinomio de grado 4 con respecto a uno de grado 1. el cociente debe ser de grado 3 con su t rmino independiente Si se observa el. resultado existen 5 coeficientes pero el valor de 25 se llama residuo el cual cuando es. igual a cero la divisi n es exacta en caso contrario la divisi n es no exacta por lo que. P x 2 x 4 5 x 3 2 x 8 25,2 x 3 x 2 3 x 11,x r x 3 x 3. es una divisi n no exacta, Sea el siguiente polinomio P x x 3 8 x 2 29 x 44 dividirlo con respecto a. Q x x 11 por ambos m todos,a Divisi n algebraica ordinaria. x 2 3x 4 cociente,x 11 x 3 8 x 2 29 x 44,3 x 2 29 x 44.
3 x 2 33 x,b Divisi n sint tica,Coeficientes del cociente residuo. Ing Francisco Ra l Ort z Gonz lez,APUNTES LGEBRA,POLINOMIOS. P x x 3 8 x 2 29 x 44, Esto indica que x 2 3x 4 por lo que es una divisi n. 4 TEOREMAS,4 1 TEOREMA DEL RESIDUO, La divisi n sint tica es importante en las matem ticas debido al teorema del. residuo El cual indica lo siguiente, Si un polinomio P x se divide entre x r el residuo es P r.
Sea el siguiente polinomio P x 2 x 3 3 x 2 2 x 1 Determinar. b El residuo cuando P x se divide entre x 3,a Si P 3 2 3 3 3 3 2 2 3 1. P x 2 x 3 3x 2 2 x 1,b qu por divisi n sint tica,cuyo residuo es 22. Los resultados de las partes a y b muestran que el residuo es 22 En ocasiones. es m s f cil determinar P r empleando la divisi n sint tica que sustituyendo a x por. r en P x esto se cumple especialmente cuando r es un decimal. Surge de la necesidad de que el alumno de ingenier a puede como una herramienta de apoyo para elestudio de la materia de lgebra en el TEMA III denominado POLINOMIOS del programa actual as como de materias afines Cumple con el objetivo de dicho temaen lo referente a l manejo de los conceptos del lgebra de los polinomios y sus propiedades para la obtenci n de ra ces Por lo

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